(高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式.docVIP

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 　　【内容综述】　　 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用　　【要点讲解】 　　目录 §1 柯西不等式　　§2 排序不等式　　§3 切比雪夫不等式　　 ★ ★ ★　　§1。 柯西不等式　　定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即　　　　　　等式当且仅当时成立。　　本不等式称为柯西不等式。　　思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。　　证明1　　　　 　　∴右-左=　　当且仅当定值时，等式成立。　　思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。　　证明2　　 当时等式成立；　　 当时，注意到　　　　 　　 　　 　　 　　 　　 =1　　故 　　当且仅当 　　且 　　（两次放缩等式成立条件要一致）　　即 同号且 常数，　　亦即 　　思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。　　证明3 构造函数 　　　　 。　　由于恒非负，故其判别式 　　即有 　　等式当且仅当 常数时成立。　　若柯西不等式显然成立。　　例1 证明均值不等式链：　　调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。　　证 设本题即是欲证：　　　　本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法　　(1)先证 ①　　注意到欲证①,即需证　　　②　　此即　　　　由柯西不等式,易知②成立,从而①真　　(11)再证 , ③　　欲证③,只需证　　④　　而④即要证　　　　⑤　　(注意)　　由柯西不等式,知⑤成立.　　(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.　　说明：若再利用熟知的关系(★)　　（其中，结合代换，　　即　　当且仅当时，等式成立，　　说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链　　　　其中等式成产条件都是．　　§２．排序不等式　　定理２设有两组实数，满足　　　　则　　(例序积和)　　（乱序积和）　　（须序积和）　　其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。　　说明 本不等式称排序不等式，俗称　　例序积和乱序积和须序积和。　　证法一． 逐步调整法　　首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。　　设注意下面的两个和　　注意 　　，S（★）　　可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组由小到大的顺序排列，最小的和就对应数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的只要适当调整，如★所示就可越调越大（小），其中ｉ＝１，２……，n。　　证法＝ 设　　　　由的一个k阶子集　　则显见 　　　　 　　　　　　等式当且仅当　　　　式　　即，时,成立　　这就证明了乱序积和≤顺序积和　　注意列，仿上面证明，得　　　　　　这里含义同上，于是有　　　　　　又证明了例序积和≤乱序积和　　综上排序不等式成立.　　例2 利用排序不等式证明柯西不等式：　　　　其中等式当且仅当为常数时成立。　　证 不失一般性，设；，则由排序不等式可得　　　　　　　　　　（例序积和≤乱序积和)　　相加即得　　①　　又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故　　　　代入①，即得　　　　平方后，即得柯西不等式　　说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：　　证 （i）设n=2，则显然成立　　（ii）设n=k时，　　　　成立，即有　　欲证n=k+1时，有　　　　成立，只需证　　　　考虑到归纳假设，只需证　　　　（★）　　而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对且n≥2时,命题成立,　　正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。 ? 例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。　　证 设，易见　　构造数列，使　　则由★知于是由排序不等式,有　　(乱序积和)　　(例序积