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高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 积化和差 和差化积 万能公式 三倍角公式 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 sin cos tan 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值： 提示：乘以，化简后再除下去。 求值： 来个复杂的 设n为正整数，求证 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x为锐角，则；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x为锐角，sinx+tanx2x 设，且，求乘积的最大值和最小值。 注：这个题目比较难 数列 关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。? 1给递推式求通项公式 (1)常见形式即一般求解方法 注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。 ① 若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列， 若p≠1，则两边同时加上，变为 显然是以为首项，p为公比的等比数列 ②，其中f(n)不是常数 若p=1，则显然an=a1+，n≥2 若p≠1，则两边同时除以pn+1，变形为 利用叠加法易得，从而 注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。 (2)不动点法 当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： 注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 令，即， 令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 则有 其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p= 若x1≠x2则有 其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q= (3)特征根法 特征根法是专用来求线性递推式的好方法。 先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。 ① 特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2 则其通项公式为，A、B用待定系数法求得。 ② 特征方程为x3=px2+qx+r，令其三根为x1，x2，x3 则其通项公式为，A、B、C用待定系数法求得。 注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。 (4)数学归纳法 简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。 (5)联系三角函数 三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子 看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。 注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。 例 数列定义如下：，，求通项 注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。 (6)迭代法 先了解迭代的含义 f右上角的数字叫做迭代指数，其中是表示的反函数 再来了解复合的表示 ， 如果设，则，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。 而在数列中我们可以将递推式看成，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。 我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。 练习 ，试求数列的通项公式。 注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。 下面是我的一个原创题目 已知数列满足，，求该数列的通项公式。