(高中数学竞赛指导第四讲.docxVIP

第四讲 三角函数性质及其应用赛点直击三角函数线及其应用在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A点,与y轴正向交于B点，并设α角与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在二三象限）于T点，过B点作BS⊥y轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则sinα＝的数量，cosα＝的数量tanα＝的数量，cotα＝的数量 y 三角函数用三角函数线表示，即可以实现数向形的转化，由单位圆中函数线不难看出：（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；（2）sinα＜α＜tanα , α∈(0,) (实质为SΔOPM＜S扇形OPA＜SΔOAT)二、三角函数值1.三角函数的诱导公式(不列出，参照课本)2.八个基本关系平方关系：sin2α＋cos2α＝1, tan2α＋1＝sec2α, cot2α＋1＝csc2α . 商的关系：tanα＝ , cotα＝ .倒数关系：cscα＝ , secα＝,cotα＝ .三、三角函数的性质1.正、余弦函数的有界性2.三角函数的单调性3.三角函数的奇偶性4.三角函数的周期性赛题解析设x∈[0,π]，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.解：令x＝0,,π，分别代入cos(sinx)和sin(cosx)，易得:cos(sinx)＞sin(cosx);又当＜x＜π时，0＜sinx＜1＜, －＜－1＜cosx＜0,则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).下面证明当0＜x＜时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证明sin(－sinx)＞sin(cosx)因为0＜x＜，则0＜－sinx＜,0＜cosx＜1＜.故只需证明：－sinx＞cosx，即证明：sinx＋cosx＜,而sinx＋cosx≤＜成立.(注：最后一步是因为sinx＋cosx＝sin(x＋)≤).已知x是第二象限角，且sinx＋cosx＝a(|a|≠1)，求下列各式的值： (1)tanx－cotx;(2) ＋ .解：（1）tanx－cotx＝ .根据sinx＋cosx＝a ，两边平方得：1＋2sinxcosx＝a2 ,即有sinxcosx＝. 于是(sinx－cosx)2＝2－a2又x是第二象限角，则sinx－cosx＝，因此， tanx－cotx＝.(2) ＋＝＋＝＝.【说明】由sinx±cosx＝a可以推出sinxcosx＝±，并可求出关于sinx,cosx的任意一个对称式，如sin3x＋cos3x , ＋等的值.求证：ab≤(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)≤ (a ,b＞0).【分析】从中间向左右两侧变形在于消x，联想公式sin2α＋cos2α＝1，可以考虑通过不等变换，凑出sin2x＋cos2x结构.证明：因为a ,b＞0，且sin2x＋cos2x＝1，则(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)≤[]2＝又 (asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x) ＝(a2＋b2)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x) ≥2absin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x) ＝ab(sin2x＋cos2x)2＝ab.故原不等式成立.已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋B,|f(x)|在0≤x≤上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时M最小？并证明之.【分析】解决一个问题首先应考虑简化，题中函数f(x)可看作函数sin(2x＋)和函数Ax＋B相加而成，sin(2x＋)为静态的，Ax＋B为动态的（相对于f(x)的最值而言），本题主要考虑Ax＋B对f(x)的最大值和最小值的影响，借助图像可以使问题分析更直观.解：由函数解析式化简得：f(x)＝sin(2x＋)＋Ax＋B.令g(x)＝sin(2x＋),x∈[0,];h(x)＝Ax＋B, x∈[0,].作出函数h(x)＝Ax＋B,x∈[0,]和g(x)＝sin(2x＋),x∈[0,]的图像，如图所示当x＝,时，g(x)取得最大值.当x＝时，g(x)取得最小值－.当h()＞0或h()＞0时，fmax＞,∴ M＞.当h()＜0且h()＜0时，h()＜0,∴fmin＜－, ∴ M＞当h()＝h()＝0时，fmax＝, fmin＝－,∴ M＝.此时A＝B＝0，即A＝B＝0时，M有最小值.求证：在区间(0,)内存在唯一的实数对(c,d)，c,d∈(0,),且c＜d，sin(cosc)＝c, cos(sind)＝d使得成立.【分析】本题实质上是方程sin(cosx)＝x和cos(sinx)＝x的解的问题.解：设函数f(x)＝sin(cosx)－x, x∈[0,]，则f(x)在其定义域上是连续函