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高中数学竞赛专题讲座之 数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ B ） 2．（2006安徽初赛）正数列满足，则 （ ） A、98 B、99 C、100 D、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列， ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n，∴|Sn-n-6|=6×()n，得：3n-1250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则= （ ） A．1 B．-1 C．2+ D．-2+ 解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……，∴有。故选A。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列{}的前10项和为 ( C ) A . B. C. D. 7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 。记，，则＝ (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ） 解： 将记做，于是有 从16开始，是周期为8的周期数列。故 正确答案为D。 二、填空题部分 1.数列的各项为正数,其前n项和满足,则=______. 2．（200 6天津）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 194 ． 3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则=___________。 4．（2006年江苏）等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当 12 时，有最大值． 5. 在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。 【解】：设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为（， ）。 再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为 。从而有，即有 。 由此可得 （1） , 以及 （2） （1）－（2）即得 . 变形可得 . 由于，所以 。在（1）式中取n ＝ 1，可得 ，而，故。 因此第2005个等边三角形的边长为 。 6.(2005年浙江)已知数列，满足, 且， 则= 。 【解】：由 ，推出 。因此有 . 即有 。 从而可得 。 7. (2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（　　　　） A． B． C．　 D． 解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得 中的最大数为。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以，便得M中的数故选C。 8．（2004 全国）已知数列满足关系式，则的值是_________________________。 解：设 即 故数列是公比为2的等比数列， 。 。 9．（2005四川）设为整数，集合