(8三角函数的图象与性质.docVIP

第八章 ——圆锥曲线方程及性质 8.1 椭圆 一．知识梳理 1 .椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作 ，这两个定点叫做 ，它们之间的距离叫做椭圆的 。 即 若，为椭圆上任意一点，则有（）。 奇异：若时，点满足，则点的轨迹为 ； 若时，点满足，则的点轨迹为 ； 2.椭圆的标准方程和几何性质： 椭圆的标准方程、几何性质（按焦点在x轴、在y轴分类） 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 备注 a、b、c的大小及关系，焦点的确定 ①范围：由标准方程知 ，说明椭圆位于直线 所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以曲线关于 轴对称；同理，以代替方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于 对称。这三种对称中，若具备了2种对称，那么也具有第三种对称 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心； ③顶点：椭圆与坐标轴的四个交点叫椭圆的顶点。四个顶点，，。 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。 ∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。可以认为，当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为 。 二、典型例题 例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于； （2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点； （3）焦点在轴上，，且过点； （4）长轴长为短轴长点3倍，且过点P（3，0）； （5）离心率为，长轴比短轴长4； （6）椭圆经过两点，。 求椭圆的标准方程要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系 例2.（1）化简方程得 ； （2）化简方程 得 . 三、练习 1．（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。 2.（1998全国理，2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ） A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 3.若椭圆的焦点为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 ； 4.若P为椭圆上一点，两焦点为，且，则的面积为 ； 5.椭圆的离心率为，则 . 8.2 双曲线 一．知识梳理 1 .双曲线定义：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距，。 注意：①上式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支 （含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）； ②当时，表示 ； ③当时，表示 。 2.双曲线的标准方程和几何性质： 双曲线的标准方程、几何性质（按焦点在x轴、在y轴分类） 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 备注 a、b、c的大小及关系，焦点的确定 注：1.双曲线的渐近线可写为，即； 2.渐近线为的双曲线可写为 3. 当时，称双曲线为等轴双曲线，它的离心率_____，渐近线为____________； 所有的等轴双曲线标准方程可设为 二、典型例题 例1.（1）化简方程得 ； （2）化简方程 得 . 例2．（1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程； （2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程； （3）已知双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。 例3、双曲线上一点P到它的左焦点距离最小值是 ；若P到左焦点点距离是17则它到右焦点点距离是 。 例4．（福建卷）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60