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广东省广州市重点高中高考数学20天冲刺大闯关题:函数与方程05Word版含解析
函数与方程05
二、填空题:
1.已知函数=当2<a<3<b<4时,函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
2.若函数为偶函数,则实数 。
【答案】
【解析】,
则
3.函数在 处取得极小值.
4.设,若,则
【答案】
【解析】 .
6. 函数的定义域为A,若时总有为单函数.例如,函数=2x+1()是单函数.下列命题:
函数=(xR)是单函数;
若为单函数,
若f:AB为单函数,则对于任意bB,它至多有一个原象;
函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数.
其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)
7.函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】考察函数性质,容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.
8.在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函数与方程,两点间距离公式以及基本不等式,中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、,即为P、Q两点,所以线段PQ长为,当且仅当时等号成立,故线段PQ长的最小值是4.
9.已知实数,函数,若,则a的值为________
【答案】
【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.
10.已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是_______
(0,1)
11.函数的反函数为 。
12.设是定义在上,以1为周期的函数,若在上的值域为,则在区间上的值域为 。
【答案】
【解析】本小题考查函数的性质.
三、解答题:
1.
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.
【解析】(I)设容器的容积为V,
(II)由(I)得
由于
当
令
所以
(1)当时,
所以是函数y的极小值点,也是最小值点。
(2)当即时,
当函数单调递减,
所以r=2是函数y的最小值点,
综上所述,当时,建造费用最小时
当时,建造费用最小时
2.设函数(Ⅰ)若为的极值点,求实数(Ⅱ)求实数的取值范围,使得对任意恒有成立
注:为自然对数的底数
②当 时,由题意,首先有
解得 由(Ⅰ)知
令 则,
且
又在 内单调递增,所以函数 在内有唯一零点,记此零点为 ,则,从而,当 时, 当 时
当 时 即 在内单调递增,在内单调递减,
在 内单调递增。所以要使对恒成立,
只要成立,由,知 将(3)代入(1)得又。注意到函数在内单调递增,故
再由(3)以及函数在 内单调递增,可得 ,
由(2)解得 ,所以
综上,的取值范围为.
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