广东省广州市重点高中高考数学20天冲刺大闯关题：函数与方程06Word版含解析.docVIP

函数与方程06 4．设，其中为正实数 （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。 【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。 【解析】： 当时，，由得解得 由得，由得，当x变化时与相应变化如下表： x + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。 因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数 恒成立，即在上恒成立，因此 ，结合解得 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。 解：（Ⅰ）设动点M的坐标为，则依题意： ， 由此可得，即曲线C的方程为： 6. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。 解：（Ⅰ），由题意知：即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， 设则， 7. 已知，函数（的图像连续不断） （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明：存在，使； （Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明． 【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）解:,令,解得. 当变化时, 的变化情况如下表: + 0 - 极大值 所以的单调递增区间是;的单调递减区间是. （Ⅱ）证明: 当时，.由（Ⅰ）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即, 取,则,所以存在，使. 8．设 （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围． （2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值． 解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得． 9. 如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）. 移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1) 或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离，面积时， 写出的表达式； 设，，试根据的不同取值范围，确定移动速 度，使总淋雨量最少. 解：由题意知，移动时单位时间内的 淋雨量为，故 由知， 当时， 当时， 故