广东省广州市重点高中高考数学20天冲刺大闯关题：函数与方程07Word版含解析.docVIP

函数与方程07 10. 已知函数 求函数的零点个数，并说明理由； 解：由知，，而且， ，则为的一个零点，且在内由零点， 因此至少有两个零点. 解法1 记则 当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点， 又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时， 所以， 当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点. 综上所述，有且只有两个零点. 11. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数. (Ⅰ)当时，求函数的表达式； (Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析： （Ⅰ）由题意：当时，；当时，设 再由已知得，解得 故函数的表达式为 （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200； 当时， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值. 综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 12. (Ⅰ)已知函数，求函数的最大值； (Ⅱ)设均为正数，证明： （1）若，则； （2）若，则 （Ⅱ） （1）由（Ⅰ）知，当时，有，即， ，从而有，得， 求和得, ,,即 . （2）①先证. 令，则,于是 由（1）得，即 . ②再证. 记，令，则， 于是由（1）得. 即， 综合①②，（2）得证. 13．如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（） （Ⅰ）试求与的关系（） （Ⅱ）求 14． 设函数定义在上，，导函数 求 的单调区间的最小值； 【解析】：（Ⅰ）由题设易知 ， ，令 得，当 时，，故 是的单调减区间，当 时， 故 是的单调增区间，因此，是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为。 15．设的导数满足其中常数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程。 （Ⅱ）设求函数的极值。 解析：（Ⅰ）因，故， 令，得，由已知，解得 又令，得，由已知，解得 因此，从而 又因为，故曲线在点处的切线方程为，即