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新步步高高一数学北师大版必修4练习:2.3.1数乘向量Word版含答案
§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件.
1.向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个________,这种运算叫做向量的________,记作______,其长度与方向规定如下:
(1)|λa|=________.
(2)λa (a≠0)的方向;
特别地,当λ=0或a=0时,0a=______或λ0=_____________________________.
2.向量数乘的运算律
(1)λ(μa)=______.
(2)(λ+μ)a=________.
(3)λ(a+b)=________.
特别地,有(-λ)a=________=______;
λ(a-b)=________.
3.共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使________.
4.向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有
λ(μ1a±μ2b)=____________________.
一、选择题
1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2 (kR)与向量n=e2-2e1共线,则( )
A.k=0 B.k=1C.k=2 D.k=
2.已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.B、C、D B.A、B、C C.A、B、D D.A、C、D
3.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且++=,则( )
A.P在ABC内部
B.P在ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
4.已知ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.在ABC中,点D在直线CB的延长线上,且=4=r+s,则r-s等于( )
A.0 B. C. D.3
6.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,则||等于( )
A.8 B.4 C.2 D.1二、填空题
7.若2-(c+b-3y)+b=0,其中a、b、c为已知向量,则未知向量y=________________.
8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,且=x+y,则x+y=________.
9.如图所示,D是ABC的边AB上的中点,则向量=______.(填写正确的序号)
①-+--
-+
10.如图所示,在ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=______.(用a,b表示)
三、解答题
11.两个非零向量a、b不共线.
(1)若A=a+b,B=2a+8b,C=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.
求证:M、N、C三点共线.
能力提升
13.已知O是平面内一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
14.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.
3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具,即三点共线问题通常转化为向量共线问题.§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量知识梳理
1.向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ0 λ0 0 0
2.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 3.b=λa 4.加 减 数乘 λμ1a±λμ2b
作业设计
1.D [当k=时,m=-e1+e2,n=-2e1+e2.
n=2m,此时,m,n共线.]
2.C [=+=2a+4b=2,
A、B、D三点共线.]
3.D [++=-,
=-2,P在AC边上.]
4.B [++=0,
点M是ABC的重心.
+=3,m=3.]
5.C [=+=4,
=3.
=-=+-
=+-
=+(-)-
=-
r=,s=-,r-s=.]
6.C [2=16,
||=4.又|-|=||=4,
|+|=4.
M为BC中点,=(
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