振荡奇异积分算子在Herz型空间的有界性大论文2..docVIP

第一章 振荡奇异积分算子在Herz型空间的有界性 于湖波, 赵 凯，姜诺，席芳，张红俊 （青岛大学数学科学学院，山东 青岛 266071） 摘要：文章研究了振荡奇异积分算子的有界性问题,当时,借助于在空间和Herz型空间的有界性结果,得到了在Herz型Besov空间和Herz型Triebel- Lizorkin空间的有界性. 关键词：振荡奇异积分; Herz空间; Besov空间; Triebel-Lizorkin空间; 有界性 中图分类号：O174.2 文献标识码：A 主题分类号：42B20 用表示上的单位球面,设是上的零次齐次函数,满足和 , 1) 这里,. 定义振荡奇异积分 其中是上的实质多项式,是Calderón-Zygmund核. 如果满足 , 对所有的 . 2) 则说是齐次近几十年来,振荡奇异积分算子受到很多学者的关,在文献[1]，Ricci和Stein证明了如果且满足满足条件2),则在上是有界的,而且只的次数有关,跟它的系数.接着,Chanillo和Christ在文献[2]里面证明算子还是弱型. 1992年,陆善真在文献[3]通过一个更弱的条件,改善了结果. 2000年,Ojanen在文献[4]证明了算子在上是有界的,其中满足一个更弱的条件. 2005年Chen,Jia和Jiang证明了算子在Triebel-Lizorkin空间上的有界性.受这些研究启发,本文讨论当时奇异积分算子在Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间的有界性 1[8] 对于,记,.是的特征函数,令,,齐次Herz空间定义为 , 其中 . 对于, 设,,且满足下面条件: (i); (ii); (iii). Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间8] 对于,,和,定义 为Herz型Besov空间,记为. 定义 为Herz型Triebel-Lizorkin空间. 这里的主要结果是: 定理1设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足.则振荡奇异积分积分算子在Herz型Triebel-Lizorkin空间的范数与的系数无关. 定理2设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足.则振荡奇异积分积分算子在Herz型Besov空间的范数与的系数无关. 2 引理 为了证明结论,先看下面的几个引理： 引理1[5] 设,如果且满足条件(1), 满足(2), 则振荡奇异积分算子在上有界,的范数与的系数无关. 引理2[6] 设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足, 则振荡奇异积分积分算子在上有界,的范数与的系数无关. 引理3 设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足,存在一个与无关的常数,使得 . 则振荡奇异积分积分算子在上有界, 这里 ,, 且的范数与的系数无关. 为了证明引理3,先看下面这个引理： 引理4[7] 设,,(), ,同上面的引理3，定义粗糙核极大算子 . 则有(1); (2). 引理3的证明： 记 , 则 . 对于,由引理4中(1)得 . 对于，当,,,所以,则, . 因此,由引理4中(2)得 对于,当时,,,有,所以 . 则由H?lder不等式和引理4得 = . 所以 . 综上所述，引理3得到证明. 3 定理的证明 定理1的证明: 由引理得 . 定理2的证明: 由引理得 . 定理得证. 4结论 由定理的结论可知,当时,奇异积分算子在Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间Herz型空间的有界性 1 引言和主要结果 用表示上的单位球面,设是上的零次齐次函数,满足和 ,