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第一章 时域离散随机信号的分析引言实际信号的四种形式：连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。本书讨论的是离散随机序列，即幅度和时域都是离散的情况。随机信号相比随机变量多了时间因素，时间固定即为随机变量。随机序列就是随时间n变化的随机变量序列。时域离散随机信号的统计描述 概率描述概率分布函数（离散情况）随机变量，概率分布函数： （1）概率密度函数（连续情况）若连续，概率密度函数： （2）注意，以上两个表达式都是在固定时刻讨论，因此对于随机序列而言，其概率分布函数和概率密度函数都是关于的函数。当讨论随机序列时，应当用二维及多维统计特性。 数字特征数学期望 （3）均方值与方差均方值： （4）方差： （5）相关函数和协方差函数自相关函数： （6）自协方差函数： （7）由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。 平稳随机序列严平稳：N维概率密度函数或分布函数与时间n起始位置无关。宽平稳：均值、方差和均方值与时间无关；二维概率密度函数、自相关函数和自协方差函数与时间间隔有关。严平稳可以推出宽平稳的条件，反过来不成立。对于两个随机序列则要求各自平稳且联合平稳。其相关函数满足： ， （8）表示互为正交，表示互不相关。实平稳随机序列相关函数、协方差函数的性质：自相关函数和自协方差函数是偶函数 （9），自相关变为均方值 （10），自相关变为均值的平方，即随着时间间隔增大，序列内部相关性愈来愈若 （11），协方差变为方差 （12） 平稳随机序列功率谱密度由1.2.3中性质（3）知，时，，若则收敛，即平稳随机序列均值为0，自相关函数收敛，存在变换，其收敛域包含单位圆，傅里叶变换存在。 （13）即为平稳随机序列的功率谱密度。即自相关函数和功率谱互为傅里叶变换对。（令，为随机序列平均功率，故称功率谱密度）实、平稳随机序列功率谱性质：偶函数 （14） 各态历经性平稳随机序列样本的时间平均依概率趋于序列的集合平均，则平稳随机序列具有各态历经性。前面已经提到，随机序列各统计特征是时间的函数，如均值是时间的函数mx(n)。时间平均就是对该函数求时间上的平均： （15） 特定的随机序列正态（高斯）随机序列单变量正态分布概率密度函数： （16）正态随机序列的维（个时刻的随机变量）联合概率密度函数可表示为： （17）式中 （18）分别为样本列向量、均值列向量和协方差矩阵。白噪声序列白噪声：随机序列x(n)，在各时刻的随机变量两两互不相关，即 （19）均值为0的平稳随机白噪声功率谱密度 。 （20）若各变量取值服从正态分布，则噪声为高斯白噪声，高斯分布互不相关和相互独立等价。谐波过程 （21）式中和为常数，服从均匀分布且相互独立。 随机信号采样定理与确定信号有类似结论，即满足奈奎斯特采样定理。随机序列数字特征的估计估计准则偏移性偏移量为无偏估计，为渐近无偏估计估计量的方差（有效性）无偏估计的情况下，有一致性（均方误差）估计量的均方误差 均值的估计（数据内部不相关时，无偏一致的好估计）方差的估计（数据内部不相关时，有偏估计）修改估计式使得估计为无偏自相关函数的估计无偏估计有偏估计渐近无偏，渐近一致估计，估计误差比无偏估计的小，实际中用这种有偏估计。平稳随机序列通过线性系统系统响应（即输出信号）的均值、自相关函数和平稳性分析线性时不变系统，系统响应 输出的均值 ，即若mx与时间无关，my也与时间无关输出的自相关函数 相关卷积定理：卷积的相关等于相关的卷积其中，也可以通过相关卷积定理推出（）。输出响应的功率谱密度函数自相关函数和频谱互为Z变换对，和功率谱互为傅里叶变换对。由相关卷积定理可得对于实序列有系统的输入、输出互相关函数输入输出互相关函数可以通过定义来求，也可以通过相关卷积定理来求。（）时间序列信号模型时间序列信号模型法采用的是线性模型，是一种研究平稳随机序列的有效方法。信号模型：图中是均值为0、方差为的白噪声。许多平稳随机序列都可以看成是由典型噪声源（一般是白噪声序列）激励一个线性系统产生。三种时间序列模型信号模型用差分方程表示：是需要研究的序列，根据系数取值可分为三种模型：MA、AR和ARMA。MA(Moving Average)（全零点）系统函数：，只有零点，没有极点。相应的，差分方程中系数，变为：如果零点全部在单位圆内，则为最小相位系统，系统可逆。AR（Autoregressive）（全极点）系统函数：，只有极点，没有零点。相应的，差分方程中系数，变为：只有当全部极点在单位圆内时，系统才稳定。ARMA（零极点）系统函数：任何一个平稳随机序列可以分解为确定信号与平稳随机MA序列之和。任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或用足够大的模型近似。三种模型可以相互转化，都具有普遍适用