数理方法复习提纲..docVIP

复变函数论 复数平面：在直角坐标平面上，把复数用坐标为的点来表示，这个直角坐标平面叫做复数平面。 复数平面 如图：在复数平面上建立极坐标系，取轴的正半轴为极轴，坐标原点为极点，则可得复数的对应点的极坐标，包括极径和极角。 复数的模：复数的对应点的极坐标的极径或矢量的长度称为复数的模，记做。 复数的辐角：复数的对应点的极坐标的极角或矢量与轴正方向的夹角称为的辐角，记做。 辐角的主值：一个复数的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差的整数倍，通常把满足条件的一个特定值，称为辐角的主值，表示为，则的任意辐角可表示为： 复数的三角式： 复数的指数式： 复数的次乘方的三角和指数形式： 复数的次方根的三角和指数形式： 有个不同的值，当取其它整数时，将重复出现上述个值 复变函数：若在复数平面上存在一个点集，对于中的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则说在点集上定义了一个复变函数，记作：，点集叫作函数的定义域 令：，并将代入，则有： 初等复变函数： 指数函数： 三角函数： , , 1）因为，，所以，具有实周期 2），为无界函数。 3） 对数函数：指数函数的反函数，当有指数函数，则称复数为的对数函数，记作。设：， 则可得：， 所以有： 复变函数通常取为自变量，为函数值，则可写出对数函数： 幂函数： 一般指数函数： 复变函数的极限：如果对任意一个，总可找到一个，使得所有在的邻域内的点，其所对应的点都在的邻域内，即如果有不等式（本身可以除外），必可得出，我们说当时，函数的极限存在且为，表示为：。由定义可见，极限值与的方式无关，换句话说，当以不同的方式趋近于时，如果函数的极限值不一样，则其极限不存在。 如果令：，，则复变函数的极限等价为如下两个极限：， 特别：当时，称函数在点连续，记作： ， 复变函数的导数：设函数是在区域上定义的单值函数，对于上的某点，如果极限存在，则称函数在点处可导，此极限叫作函数在点处的导数，表示为: 复变函数可导的充要条件：复变函数可导的充要条件是偏导数，，，存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即： ， 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数在点及其邻域内处处可导，那么称在点解析。如果在区域内每一点都解析，那么称在内解析，或称为内的一个解析函数。 注：在某点解析在该点可导该点连续该点有极限 区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数. 析函数不是针对函数在一些孤立点上的性质，所以函数在整个复数平面上处处不解析。 由复变函数积分的定义可得积分的一个重要性质：设为复变函数在曲线上的最大值，又设为曲线的长度，则有： 单连通区域的柯西定理：如果函数在单连通区域内是解析的，则在区域内的任何分段光滑封闭曲线上的回路积分为零，即 复连通区域的柯西定理：（不失一般性，图中只画出了，，） 如果函数在复连通区域内是解析的，在上是连续的，那么它沿着这区域的边界的积分等于零： 如图：式中为区域的外边界，分别为区域的各个内边界，在通过这些边界时，积分均沿边界的正方向进行，即取逆时针方向，各个取顺时针方向 原函数：若是解析函数的导数，即，则称为的原函数。 定理：如果为函数的任何一个原函数，则有： 单连通区域的柯西公式 定理：如果函数在单连通区域内是解析的，在闭单连通区域上是连续的，为的边界，对于区域内的任一点，则有： 复连通区域的柯西公式：如图，以，，，为边界的复连通区域（不失一般性，图中只画出了，，），沿边界，，，的积分路径均取正方向。 则有： 高阶导数公式：设在区域内是解析的，在闭区域上是连续的，为的边界，对于区域内的任一点，可以求导任意多次，第阶导数可表示为： 上式可看作在柯西公式对求次导，其中等式右边在积分号内关于求次导。注意：解析函数可以求导任意次，即在其定义域内存在任意阶的导数 幂级数： 其中：系数和固定点都是复常数，是一个复变量 幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）： 幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）： 奇点法：幂级数中心到最近奇点的距离即为收敛圆的半径 幂级数的性质： ● 幂级数的和在收敛圆内也是一个解析函数。 ● 幂级数在收敛圆内任一点可逐项求导次。 ● 幂级数可以沿收敛圆内的分段光滑曲线逐项积分 可以证明幂级数逐项求导次、逐项积分所得到的新幂级数的收敛半径不变 泰勒级数：定理：设函数在区域上是解析的，为区域内任一点，在区域内的圆中，可以展开为泰勒级数： 泰勒级数的收敛半径为到区域的边界的最短距离