概率论与数理统计课件(第3章)..docVIP

第3章 多维随机变量及其分布 一维随机变量是指随机试验的结果和一维实数之间的某个对应关系.在许多随机现象中，一个随机变量很难描述随机试验结果，往往需要多个随机变量才能准确描述，即对于每一个试验结果，同时与多个实数值相对应.例如，随机进行树木调查，可以观察其树高、兄径、树龄等多个数据. 本章主要介绍二维随机变量以及边缘分布和条件分布. 3.1 多维随机变量及其分布 3.1.1 维随机变量 一般地说，每个随机试验结果可以有个数值与之对应，此时就称这种对应关系是一个维随机变量，也称为维随机向量. 在一维随机变量的基础上，现在给出维随机变量的定义. 定义3.1 设是定义在样本空间上的个随机变量，则由它们构成的一个维向量称为在上的维随机变量或维随机向量. 3.1.2 二维随机变量的分布函数 类似于一维随机变量的分布函数，给出二维随机变量的分布函数的定义. 定义3.2 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数 （3.1） 为二维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数. 注：这里等价于. 如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，则分布函数在点处的函数值就是随机点落在以为顶点而位于该点下方的无穷矩形（见图3—1）内的概率. 分布函数具有以下性质： （1）是关于每个变量单调不减的函数，即对于任意的；对于任意的. （2），且有. （3）关于是右连续的，即. （4）设，则有 . 注： 表示随机点落入以，，，为顶点的矩形内的概率（见图3—2）. 3.2 二维离散型随机变量及其分布律 3.2.1 二维离散型随机变量 定义3.3 如果二维随机变量一切可能取到的值是有限对或可列对时，则称为二维离散型随机变量. 设二维随机变量一切可能取到的值为， ， （3.2） 为二维离散型随机变量的分布律，或和的联合分布律. 我们也能用表格来表示和的联合分布律，如下表所示. … … … … 联合分布律具有以下两个基本性质： （1），； （2）. 另外，如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，则离散型随机变量和的联合分函数为 其中，和式是对一切满足的来求和的. 例3.1 设随机变量在四个整数中任取一数，另一个随机变量在中任取一整数，试求的分布律，并求概率. 解 的取值情况是：，取不大于的正整数，由乘法公式知 于是，的分布律为 1 2 3 4 1 2 3 4 由全概率公式知 显然，的值恰好是上面分布律中的第二列的概率之和. 例3.2设的联合分布律为 0 1 0 1 试求的联合分布函数. 解 如图3—1的方法，可得的联合分布函数为 . 3.3 二维连续型随机变量及其概率密度 类似于一维连续型随机变量，下面给出二维连续型随机变量的定义. 定义3.4 对于二维随机变量的分布函数，如果存在非负函数，使对于任意实数，有 ， （3.3） 则称为二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度函数（简称密度函数），或称随机变量和的联合密度函数. 联合密度函数具有以下性质： （1）； （2）； （3）设是平面上的区域，则随机点落在内的概率为 ； （3.4） （4）若在点处连续，则有 . 例3.3 设与的联合密度函数为 (1)求参数；（2）求概率；(3)求分布函数在两点的值. 解（1）由归一性知 ，得 . （2）. （3）； . 例3.4（二维正态分布）设为5个常数，且，，，令 （）. （3.5） 易知，还可以证明 ， 因而是一个二维联合密度函数.以为密度函数的二维联合分布称为二维正态分布，记作.如果二维随机变量的联合分布是二维正态分布，也称是一个二维正态随机变量. 3.4 边缘分布 二维随机变量作为一个整体，具有联合分布函数，而和都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分