正项级数的敛散性判别方法探究..docVIP

正项级数的敛散性判别方法探究 摘 要：正项级数是一的级数，对于研究级数有十分重要的意义．本文主要了判别正项级数敛散性的一些常用方法，并进行了推广，使其适用范围更加广泛，计算更加方便．然后，讨论各个判别法之间的联系，判断其强弱性．最后，结合典型例题验证本文中判别法的有效性． 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1 引言 级数的收敛性是用部分和数列的极限来定义的．一般来说，部分和不易求得，需要依靠级数敛散性的判别法来进行判定．就正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较判别法．它需要用已知敛散性的级数作为比较对象．若用等比级数作为比较对象，就得到了柯西判别法和达朗贝尔判别法．但当极限为1时，这两个判别法失效．若要得出结果，需要找出比等比级数收敛的更慢的级数作为比较级数，分别以级数和级数作为比较对象，得到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围要广泛得多．此外，可以利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性，称为积分判别法．与之对应的还有导数判别法． 2 正项级数的相关概念定义1 设是可列无穷个实数，我们称它们的“和” 为数项级数(简称级数)，记为，其中称为级数的通项或一般项． 定义2 如果级数的各项都是非负实数，即，则称此级数为正项级数． 定义3 取级数的前项之和，记为 ， 则称为级数的部分和，为级数的部分和数列． 定义4 如果部分和数列收敛于有限数，则称级数收敛，且称它的和为，记为；如果部分和数列发散，则称级数发散． 3 正项级数收敛性的3.1 比较判别法定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界． 定理2 (比较判别法) 设与是两个正项级数，若存在常数，成立，则 (1) 当收敛时，也收敛； (2) 当发散时，也发散． 推论 (比较判别法的极限形式) 设与是两个正项级数，如果与是同阶无穷小量，即，则 (1) 当时，与同时收敛或同时发散； (2) 当且级数收敛时，级数也收敛； (3) 当且级数发散时，级数也发散． 3.2 柯西判别法与达朗贝尔判别法 根据比较原则，可利用已知收敛或发散的级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性．柯西判别法与达朗贝尔判别法是以等比级数作为比较对象而得到的． 3.2.1柯西判别法及其推广定理3 设是正项级数，，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散． 推论1 (广义柯西判别法1) 设为正项级数，如果()，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散． 证因为，即对任意正数，存在正整数，当时，有 (1) 对于任意常数，总存在，当时，有 (2) 取，当时，式(1)和式(2)同时成立． (1) 当时，取足够小，使．由上述讨论，存在，当时，有，正项级数收敛，由比较判别法级数收敛． (2) 当时，取足够小，使．由上述讨论，存在，当时，有，正项级数发散，由比较判别法，级数发散． (3) 当时，取，那么对任意和常数，有．而级数发散，级数收敛．故不能确定级数收敛或发散． 推论2 (广义柯西判别法2) 设为正项级数，如果(其中且)，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散． 证因为，即对任意正数，存在正整数，当时，有 当时，取足够小，使．由上述讨论，存在，当时，有．因为，又正项级数收敛，由比较判别法知，级数收敛． 当时，取足够小，使．由上述讨论，存在，当时，有，那么，所以级数发散． 当时，取，那么， ．而级数发散，级数收敛．故不能确定级数收敛或发散． 例1 讨论下列级数的敛散性 (1)； (2)． 解 (1) 若采用柯西判别法，需要计算，较为繁琐． 而由广义柯西判别法1知，，该级数收敛． (2) 因为，由广义柯西判别法2知原级数收敛． 3.2.2 达朗贝尔判别法及其推广 定理 设是正项级数，且，则 (1) 当时，级数收敛； (2) 当或时，级数发散； (3) 当时，无法判断级数的敛散性． 推论 (广义的达朗贝尔判别法)设是正项级数，，则 (1) 当时，级数收敛； (2) 当或时，级数发散． 证 (1) 当时，对，存在，当时，有 即 设，则，即，从而 其中是任意正整数，可见，对，都有．考虑级数的部 分和序列 即有上界，从而存在，设．注意到 故， 即，所以收敛． (2) 如果，则从某项开始，，此时，故原级数发散． 例 讨论下列级数的敛散性． (1)(2)． 解 (1) 取，由于，所以原级数收敛． (2) 取 ，由于，所以原级数收敛． 引理 设与是两个正项级数，若存在自然数，当时，不等式与成立，则 (1) 若级数收敛，则级数收敛；