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例谈含参数的不等式问题 浙江省上虞市春晖中学 张黎庆 312353 综观近年来的高考试题，含有参数的不等式问题主要有三种主要类型. 第一种类型：解含有参数的不等式. 第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围. 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，求参数的范围.本文结合例题对上述三类型问题作点归纳，供复习使用。 一.解含有参数的不等式 如何解含有参数的不等式，解题时应该注：意什么问题，我们将通过例题进行说明。 例1(2004年,辽宁卷,18（1））x的不等式 分析：利用解绝对值不等式的基本方法。因为出现参数，应该进行讨论。 解：由 当时，解集是R； 当时，解集是 注：教材对于绝对值不等式中，条件是。所以这里的讨论是自然而然的。 例2 解关于的不等式 分析：分式不等式一般先通分。 解：原不等式化为 ， 若，有，原不等式的解集为 若，有，原不等式的解集为 若，有，原不等式的解集为 注：：讨论的切入点是讨论的关键。 例3：解不等式,() 分析：利用绝对值不等式与分式不等式的基本解法进行求解。 解： 原不等式等价于 移项，通分得 由已知， 所以解①得　； 解②得　或 故原不等式的解集为 注：看似复杂的表达需要认真的进行分析、运算。 例4：已知,关于的不等式: 恒成立，求 分析：是已知参数的范围,解不等式问题.由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以为主变量的不等式 解： 变为 记, 由于是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在轴的下方,于是, 关于的不等式 的解等价于 解得 于是 . 注：在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究.。 二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系. 例(2004年上海卷理19) 记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)] (a1) 的定义域为B. () 求A； () 若BA, 求实数a的取值范围.分析：解：() 的定义域2－≥0, 得≥0, x －1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞] () 条件BA表明,集合B是集合A成立的充分条件,首先要求出集合B. 由(x－a－1)(2a－x)0, 得(x－a－1)(x－2a)0. ∵a1,∴a+12a, ∴B=(2a,a+1). ∵BA, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a1, ∴≤a1或a≤－2, 故当BA时, 实数a的取值范围是,又设是关于的不等式组的解集,若是的充分条件,试确定的取值范围. 分析：解：. 于是有不等式组 解得 注：注意对充分条件、必要条件、充要条件的理解。 例7：(2005年，全国卷Ⅲ,理22) 已知函数 （Ⅰ）求的单调区间和值域； （Ⅱ）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围. 分析：解：求导，得 令解得 当变化时，的变化情况如下表： 0 （0，） （，1） 1 － 0 + 减函数 －4 增函数 －3 所以，当时，是减函数；当时，是增函数. 当时，的值域为[－4，－3]. （II）对函数求导，得 因为，当时， 因此当时，为减函数， 从而当时有 又 即时有 任给，，存在使得， 则 即 解①式得 ； 解②式得 又，故a的取值范围为 注：导数的简单运用是近年高考中出现的一个新的题型，应该引起足够的重视。 例8：已知集合,, 求使和同时成立的的值. 分析：与同时成立的充要条件,为此需要把集合具体化. 解： 由题设条件可知,不是空集,可设 由有 由有 所以有 即, 因此, 注：解题的过程事实上也是分析的过程。 三. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题 如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢? 它的操作程序如下： 1.恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于, 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于. 2. 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于, 若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上