特殊高阶微分方程..docVIP

第 12 次课 2 学时 课程安排：第二学期，周学时 4， 共 64学时. 主要内容：特殊高阶微分方程：高阶线性微分方程的概念、二阶常系数齐次线性微分方程。 本次课题（或教材章节题目）： 特殊高阶微分方程 教学要求： 1．理解高阶线性微分方程的概念； 2．掌握线性微分方程的解的结构 重 点： 1．线性微分方程的概念； 2．线性微分方程的解的结构。 难 点： 线性微分方程的解的结构。 教学手段及教具：以讲授为主，讲、练结合，使用电子教案 讲授内容及时间分配： 1．二阶线性微分方程举例 （30分钟） 2．线性微分方程的解的结构 （70分钟） 课后作业 1．二阶线性微分方程举例 （30分钟） 2．线性微分方程的解的结构 （70分钟） 参考资料 第12讲 特殊高阶微分方程 复习旧知：二阶线性微分方程的引入 【例1】设有一弹簧，，的物体。，，。。，轴铅直向下，。 ，，。，随时间变化，是的函数 试确定物体的振动规律。 ：和物体离开平衡位置的位移成正比， 其中为弹簧的弹性系数，。 ，(如空气、油等)的阻力作用，。，总与运动方向相反，，，， 根据上述关于物体受力情况的分析， 移项， ， 这就是在有阻尼的情况下，。 ， 的作用， 即 其中，。 ， ? 方程?叫做二阶线性微分方程。时，;否则，。 【定理一】如果函数与是二阶齐次线性方程 ? 的两个解， ? 也是方程的解，，。 ：?代入?式， 故?式是方程?的解。 ，。 ，?从形式上看含有两个任意常数， ?的通解。 ，是?的一个解，也是?的解，?式成为 可以把它写成 ( 其中 ) 这显然不是?的通解。 ，，??的通解呢? 要解决这一问题，，。 为定义在区间内的个函数，个不全为零的常数，在该区间内有恒等式 成立，个函数在区间内线性相关；否则称线性无关。 ，在整个数轴上是线性相关的。 ， 又例如，在整个数轴上是线性无关的。 ， 至多只有两个实根。，。 ， 给定两个函数，， 存在两个不全为零的常数( 不妨认为 )， ( 常数 ) 反过来， ( 常数 ) 则 即是线性相关的。 ，： 与线性相关的充要条件是恒等于常数。 ， ， 与线性无关的充要条件是不恒等于常数。 ，。 与是方程 的两个线性无关的特解， (其中 为任意常数) 就是方程的通解。 1】验证：与是二阶线性齐次方程 的两个解，。 ： 故 与 均为方程的解。 故 是方程的通解。 【定理三】设是二阶线性齐次方程 的通解，是二阶线性非齐次线性方程 的一个特解， 是二阶线性非齐次微分方程的通解。 ：代入非齐次方程， 故 是方程的解，含有两个独立的任意常数，。 ，。 与分别是二阶线性非齐次微分方程 与 的特解，是二阶线性非齐次微分方程 的特解。 ，代入方程 便可验证。 特解 可分别求 与 的特解和，然后进行叠加 最后指出，，(非齐次)微分方程的通解之结构，。 12.8 常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式 方程 ? 其中是常数，； 不全为常数， 。 由第八节的讨论可知，?的通解，与，，与线性无关， 就是方程的通解。 ，?的解， 由于， ? 由此可见，满足代数方程?，就是微分方程?的解。?的特征方程。 ， 求出，： (1)时，： (2)时，： (3)时，： 相应地，?的通解也就有三种不同的情形，： (1)： ，均是微分方程的两个解，不是常数，?的通解为 (2)、特征方程有两个相等的实根： ，?的一个解 ，，， 。 ， ，。 ， 约去， 由于是特征方程的二重根， 于是， ，， 从而得到微分方程?的通解为 (3