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三、函数 一．函数特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如： （1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有 个 （答： 0或1）； （2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ （答：2） 二．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个 （答：9） 四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： 1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。如 （1）函数的定义域是____ (答：)； （2）若函数的定义域为R，则_______ (答：)； （3）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________ (答：)； （4）设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围 （答：①；②） 2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。 五．求函数值域（最值）的方法： 1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如 （1）求函数的值域 （答：[4,8]）； （2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___ （答：）； （3）已知的图象过点（2,1），则的值域为______ （答：[2, 5]） 2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 （1）的值域为_____ （答：）； （2）的值域为_____ （答：） （3）的值域为____ （答：）； （4）的值域为____ （答：）； 3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如 求函数，，的值域 （答： 、（0,1）、）； 4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如 求，，的值域 （答：、、）； 5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如 （1）已知点在圆上，求及的取值范围 （答：、）； （2）求函数的值域 （答：）； （3）求函数及的值域 （答：、） 注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。 6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ①型，可直接用不等式性质，如 求的值域 （答：） ②型，先化简，再用均值不等式，如 （1）求的值域 （答：）； （2）求函数的值域 （答：） ③型，通常用判别式法；如 已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值 （答：） ④型，可用判别式法或均值不等式法，如 求的值域 （答：） 7．不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如 设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是__. （答：）。 提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？ 六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如 （1）设函数，则使得的自变量的取值范围是__ （答：）； （2）已知，则不等式的解集_____ （答：） 七．求函数解析式的常用方法： 1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如 已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。 （答：） 2．代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如 （1）已知求的解析式 （答：）； （2）若，则函数=_____ （答：）； （3