第七章方差分析..docVIP

第七章 方差分析 方差分析（analysis of variance）是检验多个总体均值是否相等的统计方法。目的：通过检验多个总体的均值是否相等来判断定类变量对定距变量是否有显著影响。 第一节 方差分析引述 一、方差分析的基本思想和原理 例1：想了解四个行业的服务质量如何，得到以下数据： 消费者对四个行业的投诉次数 观测值 行业 零售业 旅游业 民航业 制造业 1 57 68 31 44 2 66 39 49 51 3 49 29 21 65 4 40 45 34 77 5 34 56 40 58 6 53 51 7 44 自变量行业是分类变量，因变量被投诉次数是定距变量。 想知道行业对被投诉次数的影响，就要分析不同行业的被投诉次数之间是否有显著差异，即检验四个行业被投诉次数的总体均值是否相等（注意不是样本均值）。如果相等，行业对投诉次数无影响；如果均值不全相等，有影响。 为什么不用均值检验的方法？ 均值检验一次只研究两个样本，要检验4个总体均值是否相等，需要6次检验（1-2，1-3，1-4，2-3，2-4，3-4）。每次检验犯第一类错误的概率是α，作多次检验会增加犯错概率和降低置信水平。而方差分析同时将所有样本信息结合在一起，增加了分析的可靠性，降低了犯错的概率，避免拒绝真实的原假设。 如何用样本均值检验总体均值即判断行业对投诉次数是否有影响？ 各行业被投诉次数的样本均值不相等，是否可说明不同行业被投诉次数有明显差异？不一定，也许各行业总体均值无差异，仅仅因为抽样的随机性造成了彼此之间的差异/随机误差。（来自同一个总体的各个样本之间因为随机性而造成的均值差异和来自不同总体的样本之间的均值差异在散点图上是有差异的。） 所以，方差分析就是对于差异来源进行分析（来源于随机误差还是不同总体间的真实差异），从而判断不同总体均值是否相等。 在例1中，在同一行业（同一总体）下，样本的各观测值不同，其差异可看作抽样的随机性造成的，称之为随机误差。在不同行业（不同总体）下，各观测值也是不同的，这种差异可能是由于抽样的随机性造成的，也可能是由于行业本身的不同而造成的系统误差。 衡量同一行业下样本数据的误差，称为组内误差；衡量不同行业下样本之间的误差，称为组间误差。组内误差只包括随机误差，组间误差既包括随机误差也包括系统误差。如果行业对投诉次数没有影响，组间误差里就只包含随机误差而没有系统误差。这时，组间误差与组内误差的比值应接近1；反之，如果行业对投诉次数有影响，组间误差中除随机误差外还有系统误差，组间误差与组内误差之比就应该大于1。当这个比值达到某种程度时，就可以说不同行业的投诉次数之间有显著差异，即行业对投诉次数有显著影响。 二、方差分析的基本假定 1、自变量每一个取值对应的分布都应服从正态分布，以例1为例，每个行业的投诉次数都应服从正态分布。 2、自变量每一个取值对应的分布都应有相等的方差，即自变量的各组数据是从具有相同方差的正态总体中抽取的。注意，仅要求总体方差相等，而非样本方差。通常自变量各组数据的样本方差中最大值不超过最小值的二三倍，就可以视为等总体方差。 3、观测值是独立的。每个被抽中企业被投诉次数与其它企业被投诉次数的次数是独立的。 三、问题的提法 设自变量共有m类，每类的总体均值分别用μm表示，要检验m类总体均值是否相等，需要提出以下假设： H0：μ1=μ2=….=μm， 自变量对因变量没有显著影响 H1：至少有一个以上的类别均值不等或μ1、μ2….μm不全相等。 第二节 一元方差分析 分析一个分类型自变量对数值型因变量的影响时使用一元方差分析/单因素方差分析。 一、数据结构 设自变量A共分m类，A1,A2,..,Am。现从A1类中随机抽取n1个，A2类中随机抽取n2个，……，从Am类中随机抽取nm个（n1, n2,…nm可以不等），根据各个观测值可得到如下统计表： A1 A2 …… Am y11 y21 . ym1 y12 y22 . ym2 … … . … . . 二、分析步骤 1、提出假设 2、构造检验统计量 （1）计算各样本均值 （2）计算全部观测值的总均值 观测值 行业 零售业 旅游业 民航业 制造业 1 57 68 31 44 2 66 39 49 51 3 49 29 21 65 4 40 45 34 77 5 34 56 40 58 6 53 51 7 44 样本均值 =49 =48 =35 =59 样本容量 7 6 5 5 总均值 ==≈47.9 （3）计算误差平方和 ①总误差平方和TSS：全部观测值与总均值的误差平方和，反映了全部观测量的离散状况， TSS=； 根据例1计算：TSS=(57-47.9)2