第三章多元线性回归分析1..docVIP

第三章 多元线性回归分析 主要内容： 多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测 案例 3.1 多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式： i=1，2，…，n 其中:k为解释变量的数目，称为回归参数（regression coefficient）。 经济解释：也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化; 或者说给出了的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。 样本回归函数：用来估计总体回归函数 i=1,2…,n 其随机表示式: 称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项的近似替代。 §3.2 多元线性回归模型的估计 一、普通最小二乘估计 对于随机抽取的n组观测值 对样本回归函数： i=1,2…n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 即 由于满秩，故有 随机误差项m的方差s的无偏估计 可以证明，随机误差项u的方差的无偏估计量为 二、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数b的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。 线性 其中,C= 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性 3、有效性（最小方差性） 参数估计量的方差-协方差矩阵 其中利用了 和 三、多元线性回归模型的参数估计实例 例题3.1 Y： 某商品需求量 X1：该商品价格 X2：消费者平均收入 下图（图3.1） = 113.83 - 8.36 X1 + 0.18 X2 (4.0) (-3.6) (0.9) R2 =0.88, F=26.4, n=10 图3.1 §3.3 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性 假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 一、拟合优度检验 1、可决系数与调整的可决系数 记 总离差平方和 回归平方和 剩余平方和 则 可决系数 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，往往增大。 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 与之间存在如下关系： 二、方程的显著性检验(F检验) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。 1、方程显著性的F检验 即检验模型 中的参数是否总体显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： H1：不全为0 F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。 因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。 在原假设成立的条件下，统计量 服从自由度为(k , n-k-1)的F分布。 给定显著性水平a，可得到临界值 (k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F (k,n-k-1) 或 F￡ (k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。 2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论 由 与 可推出： 或 F与同向变化：当=0时间，F=0；越大，F值也越大；当=1时，F为无穷大。 三、变量的显著性检验（t检验） 方程的总体线性关系显著1每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。 1、t统计量 由于 以表示矩阵主对角线上的第