第三章微分方程方法..doc

第三章 微分方程方法 3.1微分方程的一般理论 微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。 3.1.1 微分方程的一般形式 一阶微分方程 (3.1) 其中是和的已知函数，为初始条件，又称定解条件。 一阶微分方程组 （3.2） 又称为一阶正规方程组。如果引入向量 ，， ，。 则方程组（3.2）可以写为简单的形式 （3.3） 即与方程（3.1）的形式相同，当时为方程（3.1）。 对于任一高阶的微分方程 ， 如果记，（），则方程为，即可化为一阶方程组的形式： 特别地，当高阶微分方程 ， 为线性微分方程时，即 ， 此时高阶微分方程转化的一阶方程组就为 它就可以用矩阵方式写为 在很多情况下，它是比较容易计算的。因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。 3.1.2微分方程解的存在惟一性 正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。 定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数在区域上连续，则方程组（3.3）在上有解满足初值条件，此处。（此处区域中的要理解为范数）。 定理3.2 如果函数在区域上连续，且满足利普希茨(Lipschitz)条件（即存在正常数使得，其中），则方程组（3.3）满足初值条件的解是惟一的。 定理 （解对初值的连续依赖定理）假设函数在区域上连续且满足利普希茨(Lipschitz)条件，，是方程 （3.3.1） 满足条件的解，它于区间上有定义，那么，对于任意给定的，必能找到正数，使得当 时，方程（3.3.1）的满足条件的解在上也有定义，并且 。 定理证明详略[8]，其中最后一个定理在下面还要详细讲述。常微分方程的存在性、惟一性、连续性统称为适定性。 3.1.3微分方程的稳定性问题 在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素。这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化。在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题。这里仍以方程组（3.3）为例讨论。 1.有限区间的稳定性 如果在某个有限的区域内连续，且对满足利普希茨， 是方程组（3.3）的一个特解，则当充分接近于时，方程组（3.3）在上满足初值条件的有 （）， 即对任意给定的，总存在相应的，当时，对一切有 ， 此时称方程组（3.3）的解在有限区间上是稳定的。 2.无限区间的稳定性 如果是方程组（3.3）的一个特解，（）是方程组（3.3）满足初值条件的解。对任意给定的，总存在相应的，当时，对一切有 则称方程组（3.3）的解在无限区间上是稳定的，即无限区间上的稳定。 3.渐进稳定性 如果方程组（3.3）解在无限区间上是稳定的，且存在，当时，有 则称是渐进稳定的，或称局部稳定渐进稳定性。 如果上述（或给定的一个有限常数），则相应的渐进稳定性称为全局渐进稳定性（或大范围渐进稳定性）。 4.经常扰动下的稳定性 对于方程组（3.3），考虑相应方程组 （3.4） 这里的称为扰动函数。 如果对任意给定的，总存在和，使得当时有 则方程组（3.4）有满足初值条件的解（）。且当时有 就说方程组（3.3）的特解在经常扰动下是稳定的。 5.研究稳定性的方法 实际中，要研究方程组（3.3）的解的稳定性问题。可以转化为研究方程组的零解（平凡解）的稳定性问题。 微分方程组的平凡解就是指的当它的解为常数或常向量。 事实上： 对于方程组（3.3）的任一特解，只要令，则 显然有。故方程组（3.3）转化为 。 （3.5） 由（其中理解为已求得）可知，方程组（3.3）的解对应于方程组（3.5）为（平凡解）。因此，要研究方程组（