第三章概率与概率分布..docVIP

第三章 概率与概率分布 第一节 随机事件及其概率 一、随机试验与随机事件 1、必然现象与偶然现象 具有确定变化规律的现象是必然现象，一定条件必然导致一定结果。 事先不确定结果的现象是随机现象/偶然现象，在一定条件下可能出现这种结果也会出现那种结果，随机而定。但随机现象的随机性中也蕴含着某种规律性。例如：个人寿命有长有短，无法确切预测，但某一地区人口平均寿命是比较稳定的。随机现象的这种规律就是统计规律。 2、随机试验 为了研究随机现象的规律性，就要进行随机试验，以获取有关信息，例如抛硬币记录正反面，从任意一批货中抽取一件来检查质量是否合格。严格意义的随机试验必须满足三个条件： 试验在相同条件下可重复进行；每次试验的可能结果不止一个，但所有可能结果试验前已知；每次试验只能观测到一个可能结果，但在试验结束之间无法肯定出现哪一个。 3、随机事件——随机试验的每一个可能结果被称为一个随机事件。 随机事件分类：基本事件（不能再分解）和复合事件（由两个或多个基本事件组成）。 随机事件可用样本空间的集合来表示，每一个基本事件称为样本点，所有样本点构成样本空间，如上例Ω=｛甲胜，乙胜，平局｝。 二、随机事件的概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的是随机事件发生的概率，随机事件A发生的概率记为P（A），对于一般的随机事件，0＜发生的概率＜1。等于1则为必然事件，等于零则为不可能事件。 1、古典概率 概率论发源于人们对抽签、抛硬币、掷筛子等随机游戏和赌博问题的研究，计算此类概率较简单直观。例如筛子有六面，每一面出现的概率均等都是1/6。这类试验具有两个特点：试验的基本事件总数有限，即样本空间包含有限多个样本点；每个事件出现的可能性相同。 概率的古典定义：P（A）=事件A中包含的基本事件数/样本空间中基本事件总数=m/n 例1：有50件产品，其中有5件次品，现从50件中任取两件，求抽到两件均为合格品的概率是多少？两件均为次品的概率是多少？ 解：P（A）= (C452C500)/C502 =0.8082 P（B）=(C450C52)/C502=0.0082 2、统计概率 一些事件的各种结果发生的可能性不同，不能通过一两次试验来判断结果（如射击），只有充分多次，事件发生的频率才稳定，即概率的统计定义。 P（A）=p≈m/n 在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生了m次，当试验次数n很大时，事件A发生的频率m/n在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度会随试验次数增加而缩小。 例2：某地区近几年新生婴儿性别资料如表1，估计该地区新生儿为男婴的概率。 年份 新生婴儿数 男婴数 男婴比例% 2000 1624 827 0.509 2001 1205 622 0.516 2002 1512 774 0.512 2003 1407 715 0.508 解：当试验次数（观察的新生儿个数）充分多时，男婴出现的频率稳定在0.511左右，因此可以估计生男婴的概率为0.511。 当观测次数很多时，频率和概率非常接近，频率（真实的发生比例）可作为概率（可能发生比例）的近似值，次数越多，越接近真实概率。此方法也称概率的统计方法或频率方法。 3、主观概率 依据人们的主观判断而估计的随机事件发生可能性大小称为主观概率，但并非随意猜想，是基于经验、专业知识、对事件发生的条件和影响因素进行分析而得出的。 4、概率的基本性质 （1）任一事件A的概率是一个介入0和1之间的数值。 （2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。 （3）若A与B不可能同时发生/互斥事件，则至少有一个发生的概率等于各自概率之和。P(A∪B)=P(A)+P(B) 三、概率的运算法则 1、加法公式——计算两个事件中至少有一个发生的概率，A∪B事件。 （1）互斥事件的加法公式—A发生，B就不可能发生 例3：有50件产品，其中有5件次品，现从中任取两件，求至少抽到一件次品的概率。 解1：至少抽到1件次品就是两件均为次品和只有1件次品两个事件的和。 P(A∪B)=P(A)+P(B)=C451C51/C502+C450C52/ C502=0.1918 解2：利用互补事件概率关系计算。互补事件，不可能同时发生而又必然有一个会发生的两事件，如中靶和脱靶，合格与不合格。利用P(A)+P(ā)=1，可得 P（至少抽到一件次品）=1-P（未抽到次品）=1-C452- C502=0.1918 （2）相容事件的加法公式——两事件可能同时发生 例4：将分别写有0~9这十个数的小球放入容器内，任意摇出一个小球，求出现奇数或大于等于4的数的概率。 解：奇数或大于等于4的数就是奇数（A）和大于等于4的数（B）这两个事件和。样本空间包括从0到9的10个数，A=｛1、3、5、7、9｝，B=｛4、5、6、7、8、9｝，由于每个