第六章现代数学史..docVIP

第六章 现代数学史 1． 新世纪的序幕与23个数学问题 20世纪的数学呈现出指数式的飞速发展。现代数学不再是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系。 与19世纪相比，20世纪的数学的发展表现出如下主要的特征或趋势： 更高的抽象性； 更深的统一性； 更深入的基础探讨。 1900年8月，国际数学家大会在法国巴黎举行。在会上，德国数学家希尔伯特作了题为《数学问题》的著名讲演。他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出了23个数学问题。由此拉开了新世纪数学发展的序幕。（见272页） 2． 更高层次的抽象 更高的抽象性是20世纪的纯粹数学的主要趋势之一。这种趋势，最初是受到了两大因素的推动：集合论观点的渗透和公理化方法的运用。并直接导致了20世纪上半叶大量新学科的诞生： ⑴ 勒贝格积分与实变函数论：勒贝格、博雷尔。（被称为现代分析） ⑵ 泛函分析：起源于变分法的研究，泛函一词由阿达马首先采用，意为“函数的函数”。泛函分析的另一个来源是积分方程理论。并由希尔伯特推广到内积空间（希尔伯特空间）。后来又被波兰数学家巴拿赫推广到更一般的赋范空间（即巴拿赫空间）。泛函分析就是在这种抽象函数空间上的微积分。 ⑶ 抽象代数：其研究的对象已突破了数的范畴。引进了：群、环、域和格的概念。并将代数结构作为抽象代数的研究中心。在这方面有突出贡献的数学家有诺特学派及布尔巴基学派。 ⑷ 拓扑学：研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。 ⑸ 概率论：概率论的公理化，是20世纪数学抽象化的又一成果。 ⑹ 集合论悖论 ⑺ 数理逻辑的发展：公理化集合论、证明论、模型论、递归论。 ⑻ 数学的统一化与数学三大学派：逻辑主义（以罗素和怀特黑德为代表）；直觉主义（以庞加莱、克罗内克、布劳威尔为代表）坚持发展构造性数学；形式主义（以希尔伯特为代表）坚持将数学彻底形式化为一个系统。 3． 数学向其他学科的渗透 20世纪应用数学的蓬勃发展已形成为当代数学的一股强大潮流。这时期的数学具有以下几方面的特点： 数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透。 纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，包括一些抽象的分支。 现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。 现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科。 如： ⑴ 数学物理 ⑵ 生物数学 ⑶ 数理经济学 ⑷ 数理统计 ⑸ 运筹学 ⑹ 控制论等 4． 计算机与现代数学 20世纪中叶高速电子计算机的出现对现代数学的发展带来了深刻影响，这是20世纪数学区别于以往任何时代的一大特点。 ⑴ 计算机的诞生 从手工到机械自动 计算机是人类对计算工具的不懈努力追求的最好回报。我们的祖先早在史前时期就已经知道了用石块和贝壳计数。随着文化的发展，人类创造了简单的计算工具。我国在唐朝就开始使用算盘，17世纪出现了计算尺，这些都是著名的手动计算工具。 1642年，法国数学家帕斯卡（Pascal）创造了第一台能完成加、减运算的机械计算器，用来计算税收，取得了很大的成功。1673年德国莱布尼兹（Leibnitz）改进了帕斯卡的设计，增加了乘、除运算。这一时期的计算机有一个共同的特点，就是每一步运算都需要人工干预，即操作数由操作者提供，计算结果由操作者重新安排。这些发明在灵巧性上有些进步，但都无一例外，没有突破手工操作的局限。 直到19世纪20年代，英国数学家巴贝奇（Babbage）才取得突破，从手动机械跃入机械自动时代，巴贝奇提出了自动计算机的基本概念：要使计算机能自动进行计算，必须把计算步骤和原始数据预先地存放在机器内，并使计算机能取出这些数据，在必要时能进行一些简单的判断，决定自己下一步的计算顺序。他还分别于1823年和1834年设计了一台差分机和一台分析机，提出了一些创造性的建议，从而奠定了现代数字计算机的基础。 从机械计算到电动计算 1884年，美国工程师赫尔曼?霍雷斯（Herman Hollerith）制造了第一台电动计算机，采用穿孔卡和弱电流技术进行数据处理，在美国人口普查中大显身手。 美国哈佛大学应用数学教授霍华德?阿肯受巴贝奇思想启发，在1937年得到美国海军部的经费支持，开始设计“马克1号”（由IBM承建），于1944年交付使用。 “马克1号”采用全继电器，长51英尺、高8英尺，看上去像一节列车，有750000个零部件，里面的各种导线加起来总长500英里。总耗资四五十万美元。 “马克1号”做乘法运算一次最多需要6秒，除法10多秒。运算速度不算太快，但精确度很高（小数点后23位）。 ?从机电全自动到电子数字 虽然“马克1号”与ENIAC建成时间相距很近，但在技术的采用上相距甚远。 ENI