第六节简单的三角恒等变换..docVIP

第六节简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简 1.化简：＝________. 答案：2cos α 2．化简：. [类题通法] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等. 考点二 三角函数式的求值 研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有：?1?给值求值；?2?给角求值；?3?给值求角. 1．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，xR. (1)求f的值； (2)若cos θ＝，θ，求f. 2．(1)4cos 50°－tan 40°＝________. 答案： (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________. 答案：1 3．已知α，β为锐角，sin α＝，cos＝－，求2α＋β. 4．已知α，β(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． [类题通法] 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 考点三 三角恒等变换的综合应用 [典例]　(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)＝sin2＋cos2＋sin x·cos x，xR. (1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值； (2)求f(x)在[0，π]上的单调区间． [类题通法] 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． [针对训练] 设函数f(x)＝sin＋sin2x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间上的值域． [] 1．化简：·＝________. 答案：cos α 2．若α，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________． 答案：－ 3.设函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________. 答案：－ 4．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案： 5．已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域； (2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值． [] 第卷：夯基保分卷 1．已知tan α＝4，则的值为________． 答案： 2．计算的值为________． 答案：1 3．(2013·盐城二模)已知cos＝，θ，则cos θ＝________. 答案： 4．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0βα，则β等于________． 答案： 5．(2014·泰州期末)已知sin α＝，cos β＝，其中α，β， 则α＋β＝________. 答案： 6．(2013·苏中三市、宿迁调研(一))设α，β(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan ＝，则cos β的值为________． 答案：－ 7．已知函数f(x)＝sin＋cos，xR. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. 8．已知0αβπ，tan＝，cos(β－α)＝. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 第卷：提能增分卷 1．已知，0αβπ，cos＝，sin(α＋β)＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos的值． 2．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图像经过点. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f，α，β，且g(α)＝1，g(β)＝，求g(α－β)的值． 3．(2014·无锡模拟)设函数f(x)