第十三章函数列与函数项级数..docVIP

第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 (1) 是一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.也可简记为： 或 , . 设,将代入得到数列 (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点收敛,称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点发散. 若函数列在数集上每一点都收敛,则称在数集上收敛. 这时对于,都有数列的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了上的一个函数,称它为函数列的极限函数.记作.于是有 , ,或 ,. 函数列极限的定义是： 对每一个固定的,对,（注意：一般说来值的确定与和的值都有关）,使得当时,总有 . 使函数列收敛的全体收敛点的集合,称为函数列的收敛域. 例1 设,为定义在上的函数列,证明它的收敛域是,且有极限函数 (3) 证明：因为定义域为,所以根据数列收敛的定义可以将分为四部分 (i) ,对于任给（不妨设）,当时,由于,故只要取,则当时,就有. (ii)和时,则对任何正整数,都有 ,. (iii) 当时,则有, (iv) 当时,对应的数列为,它显然是发散的. 这就证得在上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列在区 间外都是发散的. 例2 定义在上的函数列, 由于对任何实数,都有 , 故对任给的,只要,就有.所以函数列的收敛域为无限区间,函数极限. 定义1 设函数列与函数定义在同一数集D上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切的,都有 则称函数列在上一致收敛于,记作：. 注：一致收敛一定收敛，反之不一定成立 例 在上收敛但是不一致收敛，取，但是在上一致收敛.其中 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对任给的正数,总存在正数,使得当时,对一切,都有 . （4） 证明 [必要性] 设,, 即对任给,存在正数,使得当时,对一切,都有 . （5） 于是当,由（5）就有 . [充分性] 若条件（4）成立,由数列收敛的柯西准则,在上任一点都收敛,记其极限函数为,.现固定（4）式中的,让,于是当时,对一切都有. 由定义1, ,. 定理13.2 函数列在区间上一致收敛于的充要条件是： . （6） 证明 [必要性] 若,.则对任给的正数,存在不依赖与的正整数,当时,有, . 由上确界的定义,亦有，则有 . [充分性] 由假设,对任给的,存在正整数,使得当,有 . （7） 因为对一切,总有. 故由(7)式得 .于是在上一致收敛于. （第四版）推论 函数列在区间上不一致收敛于的充要条件是：存在,使得. 例3定义在上的函数列 （8） 由于,故.当时,只要,就有,故在上有.于是函数列(8)在上的极限函数,又由于 , 所以函数列(8)在上不一致收敛. (第四版课本上例题)设,判别在上的一致收敛性. 解： 求出驻点为 在区间,；在, 所以极大值点为 因此,所以不一致收敛 同样也可取, 还可取,也可以证明函数列不一致收敛. 二 函数项级数及其一致收敛性 设是定义在数集上的一个函数列,表达式 , （9） 称为定义在上的函数项级数,简记为或.称 , , （10） 为函数项级数(9)的部分和函数列. 若,数项级数 （11） 收敛,既部分和当时极限存在,则称级数（9）在点收敛,称为级数(9)的收敛点,若级数(11)发散,则称级数(9)在点处发散. 若级数(9)在某个子集上每个点都收敛,则称级数