线性代数复习题..docVIP

线性代数复习选讲 常见题型及解法 四阶行列式的计算 先用行列式性质化成某一行或某一列只有一个元素不为零，再按此行（列)展开成一个数乘一个三阶行列式计算。 矩阵方程 移项，提出未知元，将未知元表示出来，计算。注意矩阵左右乘。 注意矩阵求逆：初等变换、伴随矩阵、定义法。 求向量组或矩阵的秩 构成矩阵，并将此矩阵化成阶梯形，根据阶梯形确定秩，并同时可求一个最大无关组、最高阶非零子式、将其余向量用最大无关组线性表示、判断向量组的线性相关性。 求解线性方程组 写出增广矩阵，并将些矩阵通过行初等变换化为行阶梯形，行最简形；写其对应的同解方程组，写出方程组的解 包括：向量是否由向量组线性表示、解的讨论；基础解系；求通解 注意：当方程个数等于未知元个数时，可先计算系数行列式。 特征值及特征向量 其中包括：1）求全部特征向量；2)矩阵是否可对角化；3)实对称矩阵通过正交矩阵进行对角化；4）求矩阵的方幂。 二次型化标准形 正交变换法：写出矩阵A，求特征值，特征向量(重根对应的特征向量作正交化），单位化，组装矩阵P，写出结果。 配方法及初等变换法。 正定的判定。 例题举例： 一）设矩阵相似于对角矩阵，求 和的值。 二）设矩阵，，且齐次线性方程组有非零解， （1）求；（2）问，取何值时，方程组有解，并求其通解。 三）设为三阶方阵，，为的分别属于特征值， 的特征向量，向量满足，证明：，， 线性无关。 四）设是三阶实对称矩阵，秩()=2，，则的三个特征值分别 是 . 五）设，，，，若可由，，线性表出，且表示法不唯一，求的值及的表达式。 六）设，，求（1）和应满足的条件；（2）问是否相似于对角矩阵，说明理由。 七）设三阶实对称矩阵的特征值为，，对应于的特征向量为，求。 八）设是元非齐次线性方程组的两个不同的解，且秩。证明：是的通解。 2、设，，则矩阵有一个特征值 。 3、设，若3阶非零方阵满足，则 __ 。 4、设都是4维列向量，且4阶行列式， ，求4阶行列式。 5、已知线性方程组有无穷多解，其中，。是三阶矩阵，且，，分别是矩阵的对应于特征值，，的三个特征向量，求常数与矩阵。 六）已知二次型通过正交变换化成标准形，(1) 求参数的值；(2)求正交矩阵. 七）若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ） （A）A与B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B| 八）A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。 设方阵A有特征值和分别是对应的特征向量，试将表示成的线性组合，并求. 3、设行矩阵, ]， 且则 （ ） 4、设阶方阵满足，其中为阶单位阵，证明可逆，并求。 5、设，其中为阶单位阵，是维非零列向量，证明： （1）的充要条件为； （2）当时，不可逆。 六、设为阶方阵，，，其中为阶单位阵，证明：可逆，且求。（共6分） 七、设为五阶实对称方阵，为五阶单位阵，，秩()＝3，则＝ . 八、设，，已知与 线性相关，（1）求 ；（2）求矩阵相应于的特征值 。 九、 十、已知为三阶方阵，且有， 则＝ . 十一、设向量组，，线性无关，向量可由，，线性表示，而向量不能由，，线性表示，证明： 向量组，，，线性无关。 十二、设为阶实对称正定矩阵，为阶单位矩阵，证明： 。 十三、设，，且与相似，求，的值。 十四、设为阶方阵，满足，且，则为 矩阵。 十五、设A=，A正定，则t满足 条件。