(3.2函数模型及其应用学案.docVIP

§3.2　函数模型及其应用 1．几类不同增长的函数模型及其增长差异 因此，总会存在一个x0，使当xx0时，就有logaxxnax. 这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长． [例]下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝1，x∈Z　　B．y＝x　　C．y＝2x　　D．y＝ex 解析　指数函数模型增长速度最快，并且e2，因而y＝ex增长速度最快． 答案　D 2．几类常见的函数模型 (1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝＋b (k、b为常数，k≠0)； (3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，a≠0)； 注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见． (4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c (a、b、c为常数，a≠0，b0，b≠1)； (5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n (m、n、a为常数，a0，a≠1)； 说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色． (6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)； (7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 3．通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下： (1)收集数据； (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点； (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型； (4)选择其中的几组数据求出函数模型； (5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步； (6)用求得的函数模型去解决实际问题． 　　　　题型一　一次函数模型的应用 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润． 解　本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析． 设每天从报社买进x (250≤x≤400，x∈N)份报纸. 数量(份) 价格(元) 金额(元) 买进 30x 0.20 6x 卖出 20x＋10×250 0.30 6x＋750 退回 10(x－250) 0.08 0.8x－200 设每天从报社买进x份报纸时，每月所获利润为y元，则 y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x ＝0.8x＋550 (250≤x≤400，x∈N)． ∵y＝0.8x＋550在[250,400]上是增函数， ∴当x＝400时，y取得最大值870. 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 点评　一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理． 　　　　题型二　二次函数模型的应用 渔场中鱼群的最大养殖量为m (m0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围． 解　(1)根据题意知空闲率是， 得y＝kx· (0xm)． (2)∵y＝kx·＝－x2＋kx ＝－2＋， ∴当x＝时，ymax＝. (3)根据实际意义：实际养殖量x与年增长量y的和小于最大养殖量m，即0x＋ym，∴0＋m， 解之得：－2k2.∵k0，∴0k2. 点评　解题的关键在于对“空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函数的配方是比较有效的解题手段． 　　　题型三　分段函数模型的应用 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示： 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式； (3)用y(万元