数学思维2全解.ppt

　　引 言 全国科技大会指出： “创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。…一个没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。” “建立创新型国家。” 教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变教育观念，……尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。” H·G·格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。” 赫巴特说：“数学一般通过直接激发创造精神和活跃思维的方式来提供最佳服务。” 讲五个问题 一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、（数学）猜想 六、其它数学思维方法 我将结合高等数学和数学史上一些著名问题来讲 一、归纳思维 归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。 　归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、计算……）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。 　　　也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。 从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、……的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算……,然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 …… 60=3+57 （57=19×3，不是素数） 60=5+55 （55=11×5，不是素数) ？！ 哥德巴赫猜想。起源，演变 哥德巴赫观察到一些具体例子， 然后归纳出： “任何大于2的数都是三个素数的和”。（1742.6.7写信 给欧拉，并附上一些他观察到的例子） 欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为： “每一偶数是两个素数的和”(**)（并说：“我认为它正确，但给不出证明） 1770（英）华林将(**)发表出来。 现代的标准陈述是（*） 这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景润，（1+2））。 这是数学向人类智慧的挑战！ 但对此猜想的证明过程中，极大的推动了解析数论的发展（特别是筛法，圆法） 二项式系数 (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5= 　　……. (u+v)n= 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 又如：从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解方法，可以归纳出n?阶常系数线性齐次方程通解的结构及其求解方法。 再如：多元函数求条件极值的拉格朗日乘数法，从两个自变量、一个约束条件，推广到n个自变量、m个约束条件，也是用归纳的方法得出的。 总之：在高等数学中，有不少内容使用了归纳思维。 科尔莫哥洛夫在《我是如何成为数学家》中说：我在6、7岁时我已经感受到数学归纳发现的乐趣，例如，我注意到下边的等式： 问题：考察表 二、类比思维 　著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 　类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。 　　　简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。　 　　　 类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。例如：