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3.5 线性系统的稳定性分析 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。 3.5.1 稳定性的概念 如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。 3.5.2稳定的充要条件 脉冲信号可看作一种典型的扰动信号。根据系统稳定的定义，若系统脉冲响应收敛，即 则系统是稳定的。设系统闭环传递函数为 设闭环极点为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏反变换为 式中，为待定常数。对上式进行拉氏反变换，得单位脉冲响应函数 根据稳定性定义，系统稳定时应有 （3-21） 考虑到系数的任意性，要使上式成立，只能有 （3-22） 式(3-22)表明，所有特征根均具有负的实部是系统稳定的必要条件。另一方面，如果系统的所有特征根均具有负的实部，则式(3-21)一定成立。所以，系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或者说所有闭环特征根均位于左半s平面。 如果特征方程有m重根，则相应模态 当时间t趋于无穷时是否收敛到零，仍然取决于重特征根是否具有负的实部。 当系统有纯虚根时，系统处于临界稳定状态，脉冲响应呈现等幅振荡。由于系统参数的变化以及扰动是不可避免的，实际上等幅振荡不可能永远维持下去，系统很可能会由于某些因素而导致不稳定。另外，从工程实践的角度来看，这类系统也不能正常工作，因此经典控制理论中将临界稳定系统划归到不稳定系统之列。 线性系统的稳定性是其自身的属性，只取决于系统自身的结构、参数，与初始条件及外作用无关。 线性定常系统如果稳定，则它一定是大范围稳定的，且原点是其惟一的平衡点。 用MATLAB语言的多项式求根指令roots可以由特征方程系数方便地解出全部特征根，进而可以判断系统是否稳定。 3.5.3 稳定判据 劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。当把这个判据用于判断系统的稳定性时，又称为代数稳定判据。 设系统特征方程为 （3-23） 1．判定稳定的必要条件 系统稳定的必要条件是 （3-24） 满足必要条件的一、二阶系统一定稳定，满足必要条件的高阶系统未必稳定，因此高阶系统的稳定性还需要用劳斯判据来判断。 2．劳斯判据 劳斯判据为表格形式，见表3-8，称为劳斯表。表中前两行由特征方程的系数直接构成，其他各行的数值按表3-8所示逐行计算。 表3-8 劳斯表 劳斯判据指出：系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列系数都大于零，否则系统不稳定，而且第一列系数符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数。 例3-9 设系统特征方程为，试判定系统的稳定性。 解 列劳斯表 劳斯表第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个根在右半s平面，系统不稳定。 3．劳斯判据特殊情况的处理 ⑴某行第一列元素为零而该行元素不全为零时 —— 用一个很小的正数代替第一列的零元素参与计算，表格计算完成后再令。 例3-10 已知系统特征方程，判定系统右半平面中的极点个数。 解 的系数不满足稳定的必要条件，系统必然不稳定。列劳斯表  1 -3 0 2 0 0 劳斯表第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个根在右半s平面。 ⑵某行元素全部为零时 —— 利用上一行元素构成辅助方程，对辅助方程求导得到新的方程，用新方程的系数代替该行的零元素继续计算。当特征多项式包含形如或的因子时，劳斯表会出现全零行，而此时辅助方程的根就是特征方程根的一部分。 例3-11 已知系统特征方程，判定系统是否稳定性。 解 列劳斯表 1 12 35 3 20 25 0 5 25 0 辅助方程： 0 10 0 0 25 劳斯表第一列系数符号没有改变，所以系统没有在右半s平面的根，系统临界稳定。求解辅助方程可以得到系统的一对纯虚根。 4．劳斯判据的应用 劳斯判据除了可以用来判定系统的稳定性外，还可以确定使系统稳定的参数范围。 例3