第30讲不等式的解法(第2课时-其它不等式).doc

第 30 讲 不等式的解法-其它不等式 （第2课时） 4．含绝对值不等式的解法 ⑴ 解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号。常用的手段有： ① 利用绝对值的定义，即 ； ② ， （时，要么无解要么解为全体实数）； ③ 不等式两边平方（两边均大于零时）。 ⑵ 解绝对值不等式时，有时需要利用绝对值不等式的下列性质： ， ， （）。 ⑶ 对于含有几个绝对值符号的不等式，需要分段求解。 例．解不等式 。 解法一（两边平方）：两边平方得 ，即 ，解之得 。 解法二（利用定义）： ，即 ，解之得 。 问：如果题给不等式的右边也含有，怎么做？ 例．解不等式 。 解：令 ， 得 ， ， 把实数轴分成三个区间，，，， 由 得 ，由 得 ， 由 得 ， ∴ 原不等式的解为 或 。 点评: 本题需要划分讨论区间。 5．含参不等式的解法 对含有参数的不等式，必须对参数进行分类讨论，各类解的并集就是原不等式的解集。分类的标准如下： 对于一次不等式，按一次项系数大于、等于、小于零分类； 对于二次不等式，可以按二次项系数大于、等于、小于零分类，也可以按判别式大于、等于、小于零分类，还可以按两根大小，即、、分类。 对于绝对值不等式，可以按符号分类； 例．（2001年天津高考题）解关于的不等式 （）。 解：原不等式的解集是 ⑴ 和 ⑵ 的解集的并集，下面分情况讨论： ① 当 或 时，有 ，此时⑴的解集为 {} ，⑵的解集为空集； ② 当 时，有 ，此时⑴的解集为空集，⑵的解集为{}； ③ 当 或 时，原不等式无解； 综上所述，当 或 时，原不等式的解集为 {} ； 当 时，原不等式的解集为 {}； 当 或 时，原不等式的解集为空集。 6．根式不等式的解法（新大纲不考） 解无理不等式的基本思想是转化为有理不等式来解。必须注意：①含有未知数的根式均应有意义；②讨论不等式两边的符号；③不等式两边同为非负数时，才能进行同次（正整数）乘方。 可化为 或 或 来解。 可化为 （当 时无解）。 可化为 或 来解。 可化为 来解。 例. 解不等式 。 解：当 时，原不等式化为 ,解之得 ； 当 时，原不等式化为 ，解之得 ； 综上所述，原不等式的解为 。 7. 对数不等式的解法（新大纲不考） 解对数不等式类似于解对数方程，用初等数学方法只能解较简单的对数不等式。解对数不等式时注意：①含有未知数的对数式均应有意义，即真数必须大于零；②当底数小于1时，对数大的真数反而小。 可化为 或 来解。 （或）可设化为 来解。 例. 在2与3之间，求整数。 解：把2写成，3写成，原不等式化为 ， 由题意有 ，又根据对数函数的性质有 ， 根据对数函数的增减性可得 ，即 ，∴ 或 。 点评：要注意题目的隐含条件，此处有“对数的底数不等于1”。 DS 23 04-06 解不等式 1 2 3 4 5 6 7 二次不等式的解法 简单高次 不等式 降次法 标根法 分式不等式 √ 绝对 值不 等式 利用绝对值的定义 √ 不等式两边平方 绝对值不等式的性质 含参不等式 √ √ √ 根式不等式 √ 对数不等式 √ √ 1. 解关于x的不等式＞1 () 。 解：原不等式可化为：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0 当a＞1时，原不等式与 (x－)(x－2)＞0 同解 若≥2 ，即0≤a＜1时，原不等式无解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞) 当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)综上所述当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2） 。 解：当 时，不等式无解； 当 时，原不等式化为，即 ，即 ， ∴ 原不等式的解为 。 点评：本题是绝对值不等式，利用定义去绝对值符号。 3．解不等式 。 解：（略） 答案：①当、同为正时，原不等式的解为 ； ②当、同为负时，原不等式的解为 ； ③当、异号且 时，原不等式的解为 ； ④当、异号且 时，原不等式的解为 。 解题错误：表述不清楚。 4．若不等式 的解集