第7讲幂函数与二次函数.doc

第讲　幂函数与二次函数 【高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．1．幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(αR)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象分别如右图． 3．幂函数的性质 4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x上单调递增 在x上单调递增 在x上单调递减 在x上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 五个代表 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法 函数y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称． (2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 双基自测 1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)． A．－3 B．－1 C．1 D．3 2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)．A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 3．(2011·浙江)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)． A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2 4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于(　　)． A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 5．(2012·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 【例1】(2010·安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)． 考向二　二次函数的性质 【例2】函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](tR)上的最小值记为g(t)． (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．【训练2】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值． (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．考向三　幂函数的图象和性质 【例3】已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围． 【训练3】 幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝(　　)． A．1 B．2 C．3 D．无法确定 规范解答4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解． 【解决方案】 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)． 【试一试】 设函数y＝x2－2x，x[－2，a]，求函数的最小值g(a)． 4