第二章导数与微分(草稿).doc

导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分,它是从数量关系上描述物质运动的数学工具.它的基本概念主要包括导数与微分,其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度,而微分则指明当自变量发生微小变化时,函数大体上变化多少. 在这一章中,首先介绍导数和微分这两个密切相关的概念和运算,然后利用导数研究函数的某些特性,包括函数的单调性、函数的极值、函数的凸性和拐点等.在利用导数讨论函数特性的时候，以拉格朗日定理为中心的微分中值定理起着非常关键的作用，因此微分中值定理是本章的重点内容之一.另外，在本章中，我们还将介绍一些利用导数和微分的概念解决实际问题的实例，以加强大家对这些概念的理解，提高应用能力. 2.1 导数的概念 一. 概念的引入 例1:.变速直线运动的瞬时速度问题 设一物体作变速直线运动，其运动方程为，求时刻的瞬时速度？ 解：在时刻取增量，则在到这段时间内的平均速度为 显然，这个平均速度是随而变化的，当很小时，可以作为物体在时刻的速度的近似值，越小，近似程度越高； 当时，的极限就是物体在时刻的瞬时速度，即 这就是说，物体运动的瞬时速度是路程的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限． 引例2:.平面曲线的切线问题 (1)曲线的切线定义 在平面解析几何中，圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于一般的平面曲线来说，这个定义并不适用，例如，抛物线在原点O处，两个坐标轴都与曲线只有一个交点，但实际上只有轴是该抛物线的切线. 问题: 怎样定义平面曲线在一点处的切线呢? 一般曲线的切线定义: 曲线C上点M附近,再取一点N,当N沿C移动而趋向于M时,割线MN的极限位置MT就称为曲线C在M处的切线. (2)在直角坐标系下曲线的切线的斜率： 设平面曲线C:,求C上点处的切线的斜率. 解: 在C上另取一点则割线MN的斜率为 当时,. 当时,的极限就为切线MT的斜率 总结: 以上两个问题，虽然它们的实际背景不同，但从数量上看，它们有共同的本质：它们都是当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限．抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义． 二.导数的定义 1．定义2.1 设函数在点处的某邻域内有定义，当自变量在处有增量时，相应地函数有增量 如果当时，的极限存在，这个极限就称为函数在点处的导数，记为，即 （1） 也可以记作 ，或 ． 如果（1）式的极限存在，就称函数在点处可导． 如果（1）式的极限不存在，就说函数在点处不可导． 如果（1）式的极限为无穷大，就说函数在点处导数为无穷大． 注: （1）令则定义式也可写为 （2）令则定义式也可写为 2.导数的几何意义 函数在点 的导数就是曲线在点处的切线的斜率． 如果在点处的导数为无穷大，即不存在，这时曲线的割线以垂直于x轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于x轴的切线． 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可以得到 曲线在定点(,)处的切线方程为： 过切点且与该切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线，如果，法线的斜率为，从而法线方程为 ． 例1 求曲线 解: 所求的切线方程为: 三.函数的可导性与连续性的关系 前面我们定义了函数在一点连续的概念,现在又学习了函数在一点可导的概念,它们都是用极限来定义的,那么,这两个概念之间有没有关系呢?我们先看下面这个例子: 例2 讨论函数在处的可导性与连续性. 解: 不存在, 在处不可导. 在处连续. 问题:由上例可以看到, 函数在一点连续,则函数在这点不一定可导;那么,函数在一点可导是否一定在该点连续呢? 答案是肯定的. 事实上, 设函数在点处可导，即极限存在．由函数极限存在与无穷小的关系知： （是当时的无穷小）． 上式两端同乘以，得．不难看出，当时，． 这就是说，函数在点处是连续的． 定理1: 如果函数在点处可导，则函数在该点处必连续． 可见：“函数在点处可导”这个条件要比“函数在点处连续”这个条件强． 四.单侧导数 在（利用左极限定义） 在（利用右极限定义） 结论： 例3 讨论函数在处的可导性. 解： 所以，即在处不可导. 五.导函数 函数在区间内可导函数在区间内的每一点都可导. 函数在区间上可导(1) 在区间内的每一点都可导; (2) 在处右可导,在处左可导. 设函数在区间I上可导,则对于I内的每一个值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了的一个新的函数，这个新的函数叫做原来函数的导函数，记为或． 在（1）式中，把换成，即得的导函数公式： 显然，函数在点