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第八章 多元函数微积分（1，2） 叶红珍 上饶职业技术学院 第一节 二元函数（1、2） 教学目的：理解区域的概念；理解多元函数的概念；掌握二元函数概念；体会事物之间的普 遍联系的规律。 教学重点：二元函数的基本概念：二元函数的定义域、函数值和几何意义。 教学难点：二元函数的几何意义及二元函数的图形 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 1、一元函数的定义：。其中f在19世纪以前都以数学公式的形式出现，直到1837年德国数学家狄克雷（1805-1859）抽象出了至今人们仍为易于接受，并且较为合理的函数概念。 2、多元函数： 例1 (1)一定量的理想气体的压强P，体积V和绝对温度T之间有： ⑵ 一个有火炉的房间中，在同一时刻的温度分布。在选定空间直角坐标系后，房间内每一点处都有唯一确定的温度与之对应。这时温度是的一个三元函数，故可表示为=。 ⑶若考虑房间中不同时刻的温度分布，则温度就是的一个四元函数=。 二、新授课 1．区域的概念 （1）点的某个邻域： 点集 称为点的δ邻域，亦称为圆形邻域． 而方形邻域表为 ． 任一圆形邻域必含有方形邻域， 任一方形邻域必含有圆形邻域． 空心邻域记为 ． （2）内点、外点、边界点，边界 设，， 是的内点 ； 是的外点 ； 是的边界点；且 边界：所有边界点的集合。 几点说明 ① E的内点一定属于E ； ② E的外点一定不属于E ； ③E的边界点不一定属于E． （3）开集、闭集 定义： E为开集为E的内点． 即E为开集是指E中的点都是E的内点． 例1 E 是开集． 例2 ， E 是开集． （4）平面区域 ① 区域，开区域，闭区域 设E为一平面点集，如果E 中的任意两点都可以用E内的一条折线相连接，则称E为连通的．连通的开集称为开区域．开区域与其边界点的并集称为闭区域．开区域、闭区域统称为区域． ② 有界区域和无界区域 2．二元函数的概念 定义 设平面上有一个非空点集,如果有一个对应规律,使每一个点都对应于唯一的一个实数,则称是上的二元函数,它在处的值称为函数值,记为,即 称为该函数的定义域,称为自变量,又称因变量. 常见的二元函数： 问题 二元函数 自变量 矩形的面积 -宽，-长 圆柱体体积 -底半径，-高 收益 -价格，-销售数量 利润 -收益，-成本 函数值Z，即。（在本章的后面提到的多元函数均指单值函数） 比较：：； 其中=，但是不存在的。 我们知道二次方程图象是球面，定义域为 ， 单值分支 ， ． 3．二元函数的定义域： 确定函数定义域的常见类型：指定；由实际问题限制；使解析式有意义。而其中由解析式确定函数定义域的题型有：分母不为零；非负数开偶次方；超越代数式有意义等等。下面通过例子来看。 例2 求下列各函数的定义域 （1） (2) 解 （1） 显然定义域为 如图8-1（b） 在平面直角坐标系中，它表示以原点为圆心，半径为a的圆的内部且包括边界圆周(图8-1)（2）式函数的定义域。 解：由 得 即定义域为，见(图8-2) （图8-2） 例3 在上面两个函数的定义域中分别任取一点，求出对应的函数值。 （2） 4．二元函数的几何意义：空间直角坐标系中的一个曲面 一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。设二元函数 当点跑遍定义域D时，相应的点就在空间描绘出一个曲面，这个曲面就是二元函数的图形见（图8-3）。 例如图象如左图．函数 图象如右图。 例4 函数的图象是一张平面，其与的交线为，与的交线为，如右图． 即有交线： 5、课堂练习 求函数的定义域，并计算和找出一个定义域里的点，并求出函数值．） 解： ， 所求定义域为 ． 三、本节小结： 区域的概念，多元函数的概念，二元函数定义域与二元函数的几何意义 四、课外作业： P165. 1. 2. 4(2)(4) 第八章 多元函数微积分（3） 叶红珍 上饶职业技术学院 第一节 二元函数（3） 教学目的：理解二元函数极限及连续概念。会求