第十专题不等式选讲.doc

第十专题 不等式问题选讲 一、基础知识 1、（幂平均值不等式），则，等号当且仅当时成立。 常见的平均值不等式：。 2、（柯西不等式）设是两组实数， 则，等号成立的充要条件是对应系数成比例。 推论：（1），有； （2），有； 3、（琴生不等式） 设在上是一个上凸函数，对有 （*） 当且仅当时等号成立。 若在上是一个下凸函数，则（*）不等号方向相反。 推广：设在上是一个上凸（下凸）函数，对及有 （**） 当且仅当时等号成立。 4、排序不等式与切比雪夫不等式 设是两组有序实数,则 （1）、（排序不等式） （顺序和乱序和倒序和） （2）、（切比雪夫不等式） 二、例题选讲 例1、设，求的最小值。 例2、设，求证： 例3、若，求证：，并确定等号成立的条件。 例4、已知，求证：。 例5、设，且， 求证： 例6、已知， 求证： 例7、对于满足的实数， 求的最小值。 例8、，求证：。 例9、设，且。 求证：。 例10、设， 求证：。 例11、是满足的正实数，求证： 例12、设，且满足， 求证：中任何三个一定是某个三角形的三边长。 例13、若，则 例14、若，求证：。 例15、若，求证： 例16、（赫尔得不等式） 若，有是大于1的数，且，则，等号当且仅当时取得。 注：(1)当时便为柯西不等式。 (2)赫尔得不等式的变形：，则。 例17、（闵科夫斯基不等式） 设，则 等号当且仅当（时成立。 注：当时，不等号方向相反；当时为三角不等式。 例18、设，求证：。 例19、设，求证： 例20、设是不全为0的实数，求的最大值。 例21、设，求满足不等式： 的最大常数。 例22、设，且， 求证：，并确定等号成立的充要条件。 例23、求最大的常数，使得对有 恒成立。 例24、设是直角三角形的三边，且为斜边，求最大常数，使得。 练 习 题 1、设，求证：。 2、已知设，， 求证：。 3、设且。 求证： 4、已知为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求所有使为最小的点。 5、给定正整数和正数，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。 6、设都是正实数且满足， 求证： 7、设是不小于2的正整数，求证： （提示：构造辅助函数，易知在时是下凸函数。从而得时有） 8、设是三角形的三边长，是其半周长。 求证： 9、设是不全为0的实数，求的最大值。 10、已知为正常数，求最大的常数，使对任意非负实数有。 11、求最小的实数，具有如下性质：对每一正实数的数列，若，则 。 第十专题 不等式问题选讲 （第 3 页 共 7 页）