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第四章 第三节《平面向量的数量积及应用举例》 教案 一、教材分析 1．向量的数量积 (1)向量数量积的概念 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cosθ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，规定，零向量与任一向量的数量积为，即0·a＝0(2)向量的投影 设两个非零向量a与b的夹角为θ，|a|cosθ称为向量a在b方向上的投影；|b|cosθ称为向量b在a方向上的投影．(3)向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积． 温馨提示：(1)投影是一个数量，不是向量．当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，投影为|b|；当θ＝180°时，投影为－|b|. (2)两个向量的数量积，其结果也是数量，而不是向量． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 1．根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立． (1)a·b＝a·c，则b＝c吗？ (2)(a·b)c＝a(b·c)吗？ 提示：(1)不一定，a＝0时不成立，另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确定； (2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cosθ＝ cosθ＝ ab的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当ab时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 2．若a·b0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角． 1．已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为(　　) A.　　　　B.π　　　　C.　　　　D.π2．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝() A. B. C. D. 4．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为(　　) A．2 B. C．－2 D．－5．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b(λa＋b)，则实数λ的值为：－ 【例1】　(1)(2013·湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为() A. B. C．－ D．－2013·(天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为 (1)根据投影的定义求解； (2)根据数量积的定义，结合平面向量的加法与减法运算【解析】(1)＝(2,1)，＝(5,5)，·＝2×5＋1×5＝15，||＝5，所求投影为||·cos〈，〉＝＝＝，故选A(2)·＝(＋)·＝·－||2＋||2－·＝||||cos60°－||2＋||2＝||×1×－||2＋1＝1.||－||2＝0，||＝，即AB＝. 1.(2013·新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________. 【例2】　(1)设x，yR，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且ac，bc，则|a＋b|＝() A. B. C．2 D．10 (2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( C ) A．－ B. C. D. (3)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是．【解析】(1)由ac得，a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由bc得＝，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，故选B. (2)2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝3×0＋3×3＝9，|2a＋＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，故选B. (2)2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝