等差数列等比数列性质的运用完全解析.doc

题目 高中数学复习专题讲座等差数列、等比数列性质的灵活运用 高考要求 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳 1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用 2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 典型题例示范讲解 例1已知函数f(x)= (x－2) (1)求f(x)的反函数f-－1(x); (2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an; (3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力 知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{}为桥梁求an,不易突破 技巧与方法 (2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想 解 (1)设y=,∵x－2,∴x=－, 即y=f－-1(x)=－ (x0) (2)∵， ∴{}是公差为4的等差数列， ∵a1=1, =+4(n－1)=4n－3,∵an0,∴an= (3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn,得m, 设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数， ∴g(n)的最大值是g(1)=5, ∴m5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn成立 例2设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4) 命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解 错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方 技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 解法一 设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有 化简得 设数列{lgan}前n项和为Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可见，当n=时，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5项和最大 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg, ∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列， 令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0, ∴n≤=5 5 由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大 例3　等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________ 解法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知， 要求S3m只需求m［a1+］, 将②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210 解法三 由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数） 将Sm=30,S2m=100代入，得 ,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+