线代第三章习题解答.doc

第三章 行列式 计算行列式 1) 2) 2．求逆序，并决定奇偶性 1) 2) 3) 4) ，当或 时为偶排列，当或时为奇排列，其中为非负整数 3．写出四阶行列式中含的项 ， 4．用行列式展开计算行列式 (1) (2) 5.用定义计算行列式 解：设则中第1行的非0元为，故 同法可求： ∵可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故中相应的非0项有4项，分别为，， 其代数和即为的值，整理后得 习题二 计算行列式 (1) (2) (3) 法2: (4) 证明 (1) 证明: (2) 证: (3) 证明: 按最后一行展开，得 3．计算下列行列式 (1) (2) (3) ∵ ∴ 补充试题： 4． 已知204，527，255三数据都能被17除尽，试利用行列式性质证明 能被17除尽 证明： 结论成立。 证毕 5． 若试证明： 证明： 习题三 利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵 （1） （3），其中 解： 逆矩阵存在．又 故 2． 设矩阵，， 求，， 解：， ，存在． 由，所以 又 存在，且，故 3． 设为可逆矩阵，证明 证明：可逆，且逆矩阵为， 由于，可逆且 可得 另一方面，由 由矩阵可逆定义知，可逆，且 4． 设，证明： 证明： 若，则 原式得证 设方阵满足，证明及都可逆，并求 解： 显然可逆且 可逆 且， 即可逆， 由，于是 由得， ， 故 用克拉姆法则解方程组 （1） 解： 7． 问取何值时， 有非零解？ 解： 当时，即时，有非0解 即 ，或时，有非0解 补充题： 习题四 （2） （3） 易知，秩为4。 2．答：在秩为的矩阵中，有等于零的阶子式，没有等于零的阶子式，没有不等于零的阶子式。 3．证明：任何秩为的矩阵均可表示为个秩为1的矩阵之和。 证：设A为m×n矩阵，且R（A）=。故A必与矩阵B等价。 即m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得A=PBQ。 又 其中是m×n矩阵，仅第i行第i列的元素为1，其余元素全都为0. 且初等变换不改变矩阵的秩， 证毕。 4．证明：等价矩阵有相同的标准型矩阵。 证：设为等价矩阵，则经过有限次初等行变换可换为。 从而分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型，再经过有限次初等列变换可化为标准型. 故等价矩阵有相同的标准型矩阵. 5． 解：法一：初等变换法 法二：定义法