罗尔中值定理的内容及证明方法.doc

罗尔中值定理的内容及证明方法 （一）定理的证明 证明：因为函数在闭区间上连续，所以存在最大值与最小值，分别用和表示，现在分两种情况讨论： 1.若，则函数在闭区间上必为常数，结论显然成立。 2.若，则因为使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件在开区间内可导得，在处可导，故由费马定理推知：。 （二）罗尔中值定理类问题的证明 罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。 1.形如“在内至少存在一点，使”的命题的证法。 (1)当时，一般这种情况下，我们只需验证满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。 例1 设在闭区间上连续，开区间内可导，。 证明：，使 分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在中找到一个区间，在中运用罗尔中值定理去证明。 证：因为 显然在闭区间上连续，在开区间内可导 根据罗尔定理，，使 (2)当时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：的形式，构造辅助函数，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数法等等。 例2 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，证明：在内至少存在一点，使 证：要证明 只需证 故令，则在闭区间上连续，在开区间内可导，且 故，，使得 即： 2.应用罗尔定理来讨论方程的根：解决这类问题首先要构造一个函数，使该函数的导数是结论中的函数。 例3 证明方程在内至少有一实根。 分析：若令，则，的符号不易判别，所以不适合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。 证：令，则在上连续，在内可导，且。由罗尔中值定理可知：，使。 即 所以方程在内至少有一实根 例4 若可导，试证明在的两个零点之间，一定有的零点。 分析：要证存在零点，我们需要构造一个辅助函数，使得，将问题转换为的零点存在问题。 证：令,设，为的两个零点，即，。则有。假设，有在上连续，在内可导。 由罗尔中值定理可得，，使,即，又因为，故。 所以，在的两个零点之间，一定有的零点。 （三）广义的罗尔中值定理 罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。广义的罗尔定理有多种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值表达式。广义的罗尔定理有多种形式。 形式1：若函数在内可导，且，则在内至少存在一点，使。 证：若，则结论显然成立。 若，不妨设，使，由，知：对，，，当，时，有，则。又在上连续，故必存在最小值，即，使。又当，时，都有，则也是在上的最小值。 故由费马定理知， 例5 设函数在区间上可导，且有，证明，使。 证：令，因为，所以。又因为,所以。而，，所以，故在可导。由广义的罗尔中值定理，，使，即。 形式2：若函数在内可导，且，则在内至少存在一点，使。 证明方法与形式1类似。 例6 求证函数在内至少存在一点，使得。 证：显然函数在开区间内可导，且有，。则由形式2可知，在内至少存在一点，使。 而，故。 形式3：若函数在内可导，且(为有限数或)，则在内至少存在一点，使。 证：若为有限数，当,显然结论成立。 若，必，使。不妨设，，使得。而，由局部保号性，必，使，，使。因为在可导，所以在，连续。由介值定理，，，使。在利用罗尔中值定理，，使得。 若，由，，知，使得，使，则有，使,则有。再由在连续，，，有,在利用罗尔中值定理，有。 例7 求证函数在内至少存在一点，使。 证：显然函数在内可导，且有，。则由形式3可知，在内至少存在一点，使。 而，故有。 形式4：若函数在内可导，且，则在内至少存在一点，使。 证：令，由题设知：，，且存在。 由形式3可知，，使，而，故，。 例8 求证函数在内至少存在一点，使。 证：显然函数在内可导，且有，。则由形式4可知，在内至少存在一点，使。 而，故有，。