考研高数第四五六章总结.doc

一元函数积分学 （一）不定积分 1、原函数的存在性 2、基本积分公式 补充公式： 要求：会推导，会背！！！ 3、换元积分法和分部积分法 （1）第一类换元积分法（凑微分法----整体代换----复合函数求导数的逆运算） 要求积分公式能够倒背如流，可以顺利的凑出中间变量！！！ 常用的几种凑微分形式：见练习本 1 2 3 4 (2)第二类换元积分法() 注意：第二类换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉。 常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是 。 第二类： （三角替换见练习本） 注意：如果既能用上述第二类换元积分法，又可以用第一类换元积分法，那么一般用第一类换元积分法比较简单。 （3）分部积分法（两个函数相乘的求导数的逆运算）分部积分法的目的：化难为易。 规律： 例题：1、直接积分法 所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。 在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。然后再用基本积分公式积分。 加项减项法、积化差（因式分解再裂项）、三角函数中平方关系的巧妙应用。 2、第一类换元积分法 Eg1、 Eg2、 Eg3、 先化简，再凑微分。 Eg4、 注：被积函数中最复杂的因子，可能就是中间变量，凑微分，这种方法常用。 把分母的指数函数挪到分子上变成负指数。性质 Eg7： 注：两个根号相加减的因子，乘以另外一个因子，构成平方差，化简常用。 Eg8、 3、第二类换元积分法 Eg1： 解法二、 4、分部积分法（有时还用了换元积分法） Eg1：找关系式 (二)定积分和反常积分的概念与计算方法 1、定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和。 2、定积分的性质 3、变上限积分的函数 定理： 推广形式： 4、牛顿---莱布尼茨公式 5、定积分的换元积分法和分部积分法：式子和上下限都变！！！ 6、反常积分（1）无穷区间上的反常积分 《1》 反常积分不能向定积分那样把一个区间去分割，取点，求和，取极限；而是把反常积分定义为定积分取极限状态这么考虑，所以有极限存在（收敛，有值得概念）或不存在（发散，没有值的概念）两大类。 《2》常用公式： （2）无界函数的反常积分（瑕积分） 2常用公式： 最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分运算法则。 例题：1、用常规方法计算定积分 Eg1: Eg2： Eg3： （三）定积分的应用 1、平面图形的面积 2、平面曲线的弧长 3、特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分） （1）已知平行截面面积的立体体积 （2）绕坐标轴旋转的旋转体的体积 1平面图形由曲线围成绕旋转一周的体积为；绕y轴旋转一周的体积为 2平面图形由曲线围成绕旋转一周的体积为；绕x轴旋转一周的体积为 4、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积