计算机仿真第三章.doc

第3章 连续系统的数字仿真 用数字计算机仿真或模拟一个连续控制系统的目的就是对系统的数学模型进行求解。 3.1 数值积分法 为了对n阶连续系统在数字计算机上仿真及求解，需要采用数值积分法来求解系统数学模型中的n个一阶微分方程。 设n阶连续系统所包含的n个一阶微分方程中的第i个一阶微分方程为： (3.1) 数值积分法就是要逐个求出区间[a, b]内若干个离散点处的近似值x(t1)，x(t2)，… ，x(tn)。 3.1.1 欧拉法 欧拉法又称折线法或矩形法，是最简单也是最早的一种数值方法。 将式（3.1）中的微分方程两边进行积分，得 其中，，h为计算步长或步距。 把积分间隔取得足够小，便得到用矩形公式积分的近似公式： 或简化 ————欧拉公式 以作为初始值，应用欧拉公式可求出每一时刻的的值，即 这样，即可求出的值。 特点：算法简单，精度较低。 图3-1 欧拉法的几何解释 5.1.2 龙格—库塔法 算法：根据泰勒级数将式（3.1）在时刻的解在附近展开，有 (3.2) 因为 故式(3.2)可写为 (3.3) 为避免计算式(3.3)中的各阶导数项，可令由以下多项式表示： (3.4) 为待定因子，v为使用f函数值的个数，满足下列方程： (3.5) 即 将式(3.4)展开成h的幂级数并与精确解式(3.3)逐项比较，便可求得式(3.4)和式 (3.5)中的系数，和等。 若设v＝2，则有 (3.6) 通过将和在同一点上用二元函数展开可得： 根据式(3.6)可得 (3.7) 由于式(3.7)只取到泰勒级数展开式的项，故称为两阶龙格—库塔法。其截断误差为。 当v=4时，可得到： 称为四阶龙格—库塔法。（目前在数字仿真中最常用，已能满足仿真精度的要求） 3.2 连续系统的数值仿真 单变量系统的状态空间表达式为 (3.8) 其中，。 仿真中，数值积分法采用四阶龙格—库塔法。对于n阶系统，状态方程式(3.8)可写成n个一阶微分方程 （3.9） 根据四阶龙格—库塔法公式，可得一阶微分方程组（3.9）的求解公式： （3.10） 令 则式（3.10）可写成如下矩阵的形式 同时 连续系统的数字仿真程序框图如图3-1所示。 [例3-1]假设单变量系统框图如图3-3所示。 图3-3 单变量系统 试根据四阶龙格—库塔法，求输出量y的动态响应。 解：%ex3_1.m (t2, x2) (t1, x1) t0 t1 t2 t x x2 x1 x0 开始 给定输入信号 给定系统参数并根据需要 转化为状态空间表达式 输入仿真时间Tf和计算步长h 根据龙格—库塔法求K1, K2, K3, K4 求xk+1和yk+1的值 t=Tf 输出结果 N Y 图3-1 单变量系统框图 0.002 r=20.4 + _ y