第4章 线性方程组解析.ppt

级矩阵 可逆等价的充要条件： （1）存在 级矩阵 ，使 （2） （3） 的行（列）向量组线性无关 （4） 是满秩矩阵 （5）齐次线性方程组 只有零解 （6） 可以写成一系列初等矩阵的乘积 P113  第四章 线性方程组 §4.4 向量组的秩和矩阵的秩 §4.3 中向量的线性相关性 §4.2 n 维向量空间与欧氏空间 §4.1 消元法 §4.5 线性方程组的有解判定定理 §4.6 线性方程组解的结构 §4.5 线性方程组的有解判定定理 如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？ 学习内容 对于齐次方程组 当 时，有唯一的零解； 当 时，有无穷多解，即有非零解。 齐次方程组解的判别定理 对于非齐次方程组 如果 ，则无解； 如果 ，则有解； 当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解. 非齐次方程组解的判别定理 例1 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形: 写出等价方程组并移项: 令 写出参数形式的通解,再改写为向量形式: 通解 即 其中 为任意实数。 例2 问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求通解。 a = 0 时，r(A)4, 有非零解。同解方程组为 方法一 令 得通解 即 当 a≠0 时， 当 a = －10 时，r(A) = 34,有非零解。同解方程组为 （当系数矩阵为方阵时还可用行列式法，此法往往简单，建议当系数矩阵为方阵时首选行列式法） 令 得通解 方法二 当 a = 0 或 a = －10时有非零解。其它同前。 存在不全为零的数 使 即 有非零解. 与以前类似，还是转换！ 向量组 线性相关 (按定义) (转化为方程组) 上面方程组有非零解. 例4 任意含有零向量的向量组必然是线性相关的。 原因：由例1可知。 例5 向量组 是否线性相关？ 解：令 则 有非零解。 就是 的一个非零解。 即： (1) “部分相关,则整体相关.反之…” 观察知 相关, 从而 相关. 使用方便的一些推论 (2) “短的无关, 则长的也无关”.反之… 是无关的. 也是无关的. (3) 无关, 相关 则 可由 A 唯一表示. 又说明: 如果一个向量可用无关组表示, 则表法必然是唯一的. 为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理. (4) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必线性相关.(Steinitz定理) 则 必相关 如果 可由 表示, 又 mn, 则 B 必相关. 定理4.6 推论1 如果 可由 表示, 且 B 线性无关，则 。 推论2 任意 个 维向量组 线性相关。 (5) “个数大于维数必相关” A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关. 则 中线性无关向量组中向量个数至多为 。 设 为 中 个线性无关的向量，则 ， 都可以由 唯一表示。 即： 我们称 中 个线性无关的向量 组成的向量组为 中的一个基。 称 为 在基 下的坐标。 （6）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同。  第四章 线性方程组 §4.4 向量组的秩和矩阵的秩 §4.3 中向量的线性相关性 §4.2 n 维向量空间与欧氏空间 §4.1 消元法 §4.5 线性方程组的有解判定定理 §4.6 线性方程组解的结构 §4.4 向量组的秩和矩阵的秩 对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示?) 希望: 在一个向量组中能找到一个部分向量, 使其余的向量都可由这些向量线性表示. 这样的部分组要满足什么条件？ (1) 线性无关, (2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关. 定