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豫南九校联考 数学参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C D C B A B C D A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13． 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分） 解：（Ⅰ） 所以，（） 两式相减得 所以，（）……3分 又因为 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以，即通项公式 （） ……………6分 （Ⅱ），所以 所以 ……9分 令 ① ② ①－②得 即 ……………11分 所以 ……12分 18．（本题满分12分） 解：记路段发生堵车事件为，路段不堵车事件为.各路段发生堵车事件的记法与此类同. …………………………………2分 （Ⅰ）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线→→→遇到两次堵车的概率为 ，…………………………………6分 （Ⅱ）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线→→→中遇到堵车的概率为 同理：路线→→→中遇到堵车的概率为1－(··）=（小于）……10分 路线→→→中遇到堵车的概率为（大于） 显然要使得由到的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线→→→，可使得途中发生堵车事件的概率最小 …………12分 19．（本题满分12分） 解：解：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a， ∴AD＝AC＝．………2分设G为CD的中点，则CG＝，AG＝． ∴，，．………5分 三棱锥D－ABC的表面积为．………6分 （Ⅱ）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC． ∵AF＝3FC，∴F为CH的中点． ∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．……8分 ∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE． ∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC ∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．分 20．解：（Ⅰ） 设椭圆方程为=1（ab0）,由焦点坐标可得c=1………1分 由=3，可得=3，…2分 解得a=2，b=，……３分故椭圆方程为=1………4分 （Ⅱ） 设M，N,不妨0, 0,设△MN的内切圆的半径为R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R 因此最大，R就最大，………6分 ， 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1， 由得+6my-9=0，………………………８分 得，， 则（）==，……………9分 令t=,则t≥1, 则,……10分 令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增， 有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=， 这时所求内切圆面积的最大值为π. 故直线方程为x=1，△内切圆面积的最大值为π…………12分 21．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由 而点在直线上，又直线的斜率为 故有 ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得由 令……7分 令，故在区间上是减函数，故当时，，当时， 从而当时，，当时， 在是增函数，在是减函数，故……………11分 要使成立，只需 ………………12分 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：，.在正△中，，， 又，，△BAD≌△CBE，， 即，所以，，，四点共圆. …………………………（5分） （Ⅱ）解：取的中点，连结，则. ，， ，，△AGD为正三角形， ，即， 所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为. 由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为.…（10分） 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（I）当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1. y＝(x－1)与 x2＋y2＝1联立解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．…（5分） （II）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin