第4章《导数及其应用》易错题解析.doc

我的高考数学错题本 第4章 导数及其应用易错题 易错点1．误解导函数与单调区间的关系 【例1】是在区间的导函数，则“在区间内是在该区间内单调递增的一般地，由能推出为增函数，反之，则不一定．如函数在区间上单调递增，但是因此是函数为增函数的充分不必要条件． 在上为减函数，求实数的取值范围． 【解析】由在上恒成立， ∴当时，，满足题意； 当， ，解得． 综上所述，． 易错点2 ．误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系 【例2 】 函数在处有极值10，求的值． 【错解】由解得． 【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件． 【正解】，依题意得，解得或， 当时，，所以在处取得极值； 当时，，此时在无极值． 所以． 易错点3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 【例3】 已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是 【错解】选 【剖析】概念不清，凭空乱猜 【正解】由导函数的图像，可得：当时，，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A． 【纠错训练】函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是 【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合． 易错点4 ．遗忘复合函数求导公式 【例4】函数 的导数为 ． 【错解】 【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即． 【正解】 易错点5．切线问题中忽视切点的位置致错 【例5】已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方程． 【错解】由导数的几何意义知，所以曲线的切线方程为． 【错因】点根本不在曲线上，忽视切点位置致错． 【正解】设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，又因为点N在切线上， 所以， 解得，所以切线方程为y=21x+32． 注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上． 【纠错训练】 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为，求函数的解析式； 解析：由的图象经过P（0，2），知d=2，所以 由在处的切线方程是，知 故所求的解析式是 易错点6．忽视极值的存在条件致错 【例6】已知函数在处有极值10，求． 分析：抓住条件“在处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得． 有两组值，是否都合题意需检验． 【错解】， 根据题意可得，即， 解得． 【错因】极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号． 【正解】， 根据题意可得，即， 解得． 而当时，，易得此时，在x=1两侧附近符号相同，不合题意． 当时，，此时， 在两侧附近符号相异，符合题意． 所以，． 易错点7．混淆极值与最值是两个不同的概念致错 【例7】求函数在－3，3]上的最值． 【错解】=3x2－4x+1=（3x－1）（x－1）， 所以极值点为或， 又∵ =0，． 所以函数最大值为，最小值为0． 【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值． 【正解】=3x2－4x+1=（3x－1）（x－1）， 所以极值点为x=1或x=， 又∵ =0，， 所以函数最大值为12，最小值为－48． 易错题8．忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错 【例8】函数的极值点是（ ） A． B．或或 C． D．或 【错解】，即， 由得， ∴x=0或x=±1 故选（B）． 【正解】由有x=0或x=±1． ，随x的变化情况如下表: x (–∞,0) –1 (–1,0) 0 (0,1) 1 (1,∞) – 0 – 0 + 0 + ↘ 无极值 ↘ 极值 ↗ 无极值 ↗ 故选（C） 易错点9．用错恒成立的条件 【例9】 已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围【错】恒成立，∴△＝≤0恒成立解得的取值范围为 【错解二】∵若时，≥0恒成立 ∴，即解得的取值范围为 【】对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0片面理解为≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误．二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论． 【】设的最小值为 （1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在； (2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2又－4≤≤4，故－4≤≤2； （3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4故－7≤＜－4；综