第4章数值计算解析.doc

第四章 数值计算 MATLAB提供高性能的数学运算功能，特别是在数值分析方面，例如数值微分、数值积分、插值、求极值、方程求根、付立叶变换、常微分方程数直解、留数计算等，在求解各种工程问题时得到了广泛应用。 4.1 多项式运算 4.1.1多项式的表示法 多项式以行向量表示，其中元素为按降幂排列的多项式的系数。 【例 4-1】将多项式以向量表示。 解：将多项式看成一元三次多项式，表示为：[1 2 1]。 如果将多项式看成一元四次多项式，应表示为：[0 1 2 1]。 4.1.2多项式运算 多项式的加减运算通过与多项式对应的行向量之间的加减运算实现，要求参与运算的行向量规模相同。 多项式的乘除运算通过conv和deconv实现。 conv（u,v）函数：求两向量卷积，此例中用以求得两多项式之积。 [q,r]=deconv（u,v）函数：求两多项式相除的结果，u为被除多项式。 【例4-2】求的“商”及“余”。 解：编写matlab程序： fz=conv([1,0,2],[2,4])+[0,3,0,1]; %计算分子多项式,注意缺项补零 fm=[1 0 2 1]; [q,r]=deconv(fz,fm); quotient=商多项式为 ; yu=余多项式为 ; disp([quotient,poly2str(q,x)]),disp([yu,poly2str(r,x)]) 运算结果： 商多项式为 2 余多项式为 7 x^2 + 7 4.1.3多项式求根 roots函数求多项式为0的根。 表达形式：r= roots(p) p是多项式系数形成的行向量，多项式由一个行向量表示，它的系数按降序排列。 r为多项式为0的根，是一个列向量。 【例4-3】，计算其根。 解：在MATLAB命令窗输入： p = [1 9 23 15] r = roots (p) 得结果： r = -1.0000 -3.0000 -5.0000 poly函数：求已知根所对应的多项式。 【例4-4】 已知根-1、-3、-5，求多项式系数。 解：在MATLAB命令窗输入： S = poly ( [ -1 -3 -5 ]’ ) S = 1.0000 9.0000 23.0000 15.0000 % 返回行向量是多项式系数向量。 FX=poly2str(S,x) % 以习惯的方式显示多项式 4.1.4 求多项式的值 polyval函数：求多项式值。 表达形式：polyval(p,x)。 p是多项式系数行向量，返回多项式在x的值。 【例4-5】 求在 x = 2 时的值。 解：在MATLAB命令窗输入： p = [1 -3 -4 15]; polyval(p, 2) ans =3 polyvalm函数：将矩阵作为变量来计算多项式的值，使用格式： Y=polyvalm(p,X) --p为多项式，X为已知的矩阵，返回也是一个矩阵。 【例4-6】 已知，求。 解：编写MATLAB程序： X=[1 2;3 4]; p=[3 –4 15]; FX=polyvalm(p,X) 运算结果： FX = 32 22 65 4.1.5 多项式展开 Residue留数函数，可用于多项式展开，在电路的复频域分析中，可以用它进行拉氏反变化。 假定 （1） 可化为： （2） 是真分式，上式可化为： 给定B(s)、A(s)，用residue函数可求出r1，r2, ...... rn , p1, p2, .....pn,和k1, k2 , .....kn 。 表达形式：[r,p,k]=residue(num,den) num是B(s)多项式子系数按降序排列的行向量，den是A(s)多项式子系数按降序排列的行向量。 命令[num,den]=residue(r,p,k)将（2）式转换成（1）式。 【例4-7】 假定，求部分分式展开。 解：在MATLAB输入如下命令： num=[4 3 6 10 20]; den=[1 2 5 2 8]; [r,p,k]=residue(num,den) 得结果： r = -1.6970 + 3.0171i -1.6970 - 3.0171i -0.8030 - 0.9906i -0.8030 + 0.9906i p = -1.2629 + 1.7284i -1.2629 - 1.7284i 0.2629 + 1.2949i 0.2629 - 1.2949i k = 4 即： 4.1.6 多项式求导 polyder(A)函数用于求多项式的