第4章最小二乘法解析.ppt

4.4 分段插值法 给定 (x∈［-5,5］)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。 分段三次埃尔米特插值 为了避免Runge现象的发生, 很自然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）, 按照已知的方法, 得到的将是一个分段线性插值函数。 已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函数H(x)满足 H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi) i=0,1,…,n 为了得到插值函数,考虑任意子区间xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1), 采用Lagrange插值函数结构, 在第i个子区间上 H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 这样，就把H(x)的构造问题转化为四个插值基函数hk(x)(k=1,2,3,4)的构造问题。 4.5 三次样条插值 “样条”一词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了 描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具 有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化 后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次 多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲 线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。 定义 给定［a,b］的分划：a=x0x1…xn=b, 如果函数s(x)在区间［a,b］上满足以下条件： （1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1) 上s(x)是三次多项式；  （2） s(x)在区间［a,b］上具有二阶连续导数； （3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s(x0)=y0,s′(xn)=yn。称s(x)为三次样条函数。 曲线拟合法 设一组观测数据为 x x0 x1 x2 x3 … xn y y0 y1 y2 y3 … yn 其中xi≠xj(i≠j),我们要根据这一系列数据找出函数关系y=f(x)。 若用插值函数φ(x)代替函数关系f(x),要求满足插值原则 φ(xi)=f(xi), i=0,1,2,…,n 由于观测点和观测数据本身就有误差,就会使函数保留这些误差,而影响逼近函数的精度。 在实际问题中,往往并不要求近似函数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只要求由已知数据(xi,yi) (i=0,1,…,n)找出x,y之间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。 例如,已知数据 x 0 1 2 3 4 5 y 1 1.6 2.1 2.4 3.2 3.4 我们可以用近似函数 图 4.4 因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则 φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n 故在节点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有误差 ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n 称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。 我们仅对φ(x)为多项式情形进行讨论。 当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 在数据点 处的偏差, (i=1,2,…,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小,此即称为最小二乘原理 ?最小