韦达定理及应用专题(二次方程提升专用教师版)doc.doc

韦达定理及应用专题 解题方法及提分突破训练 姓名： 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系=- =把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为A（，0），B（，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（，0），B（，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形．（1）当ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．若将图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．设一元二次方程的两根为，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足．则k的值为？一元二次方程（a、b、c属于R）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 1）计算对称式的值 例 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． （2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。 例 解方程组 x+y=5 Xy=6????????? ?? 解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解 x1=2,y1=3 ???????????????? x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。 解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2 由题意知 三 典题示例 例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 例2 已知是一元二次方程的两个实数根． (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 四 巩固强化 1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．2. （2011?南充，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 3. （2011?湖南张家界，23，8）阅读材料： 如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， ，．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n=　 　，m?n=　 　 ； （2）计算的值．4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值． 5. （2011?玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x1+x2）2÷（）的值．6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，