高三复习直线与圆锥曲线的位置关系.doc

高三数学复习---直线与圆锥曲线的位置关系（2） 一、教学目标：1．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长； 2．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法． 二、教学重点： 三、教学过程： （一）主要知识： 1．弦长公式． 2．焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率） （二）例题分析： [例1] 已知直线与椭圆交于两点，是中点，为原点。 （I）当直线与直线平行（不重合）时，求直线的斜率； （II）若，证明，并求线段长取最大值时，直线的方程 　　（目的：熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法；如运用中点弦、焦点弦、韦达定理等有关知识，采用引参、消参、设而不求、待定系数等常用方法解决问题。） （I）令则 两式相减得 （II） 由 时此时 [例2]如图点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为1的直线交椭圆于点，点在轴上，且轴，。 （I）若的坐标为（0，1），求椭圆的方程。 （II）若的坐标为，求的取值范围。 （目的：以椭圆为载体，运用向量和不等式及函数 的相关知识解决问题） 【解析】 由题设，是等腰直角三角形， 且 代入，得 所求椭圆方程为 （Ⅱ）若由题意得，在曲线上，则若 则在轴下方， [例3]已知点，、，，设为直角坐标平面内 轴正方向上的单位向量，若向量，，且=4. （Ⅰ）求动点的轨迹方程，并讨论方程所表示的曲线； （Ⅱ）设直线与点的轨迹交于、两点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由. 　　（目的：学会解决向量形式下直线与圆锥曲线的关系问题） 【解析】 （Ⅰ）解: ，，且=4， 点到两定点，的距离之差为4． 当，即时，点的轨迹是一条射线，方程为； 当，即时，点轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，方程为：． （Ⅱ）解: 当时，显然不合题意； 当时，动点的轨迹方程为． 设、，则， 又得：． 把代入上式并整理：…………① 由消去得………………② 把，代入①，并解得． 当时，方程②为，． 而且，因此满足条件的值不存在． [例4]已知抛物线及定点是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一个交点分别为，求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同的两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标。 【解析】设因为三点共线，所以同理求得设直线过定点则点共线，所以 即由消去得上式对任意恒成立，所以得到故所求的直线恒过定点（1，2）。 （三）巩固练习： 1．已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 （ ） （A）　 （B）　　 （C）　　 （D） （目的：理解方程中含有一个参数的直线的特征，能够用直线上的特殊点判断直线与圆锥曲线的关系） 【答案】 【解析】直线恒过点，当点在椭圆上或椭圆内时此直线恒与椭圆有公共点。 2．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ） （A）． （B）　（C） （D） （目的：理解双曲线中点弦的斜率、弦中点的坐标与方程中系数的关系） 【答案】（D） 【解析】设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解。 3．设抛物线与直线有两个交点，其横坐标分别是，而直线与轴交点的横坐标是，那么的关系是 （A）　　（B）　　（C）　（D） （目的：能够发现直线与抛物线交点之间的特殊联系） 【答案】（B） 【解析】由题意得：故选（B） 4．抛物线截直线得弦，若，是抛物线的焦点，则的周长等于 　　（目的：学会运用抛物线的定义解决有关直线的与抛物线的关系问题） 【答案】 【解析】利用弦长公式及抛物线的定义求解。 5．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是 （目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 【答案】 【解析】画出图形，利用数形结合法求解。 6．直线，以椭圆的焦点为焦点作另一椭圆与直线有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公共点坐标是。 （目的：学会运用等价转化的思想解决复杂问题） 【答案】 【解析】设椭圆与直线的公共点为，其长轴长欲使的值最小，需在直线上找一点使其到两定点的距离和最小。 四、小结： 直线与圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置