高三数学参数方程.doc

一、参数方程的概念 一、 参数方程的定义： 1 定义： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P的坐标和都可以表示为某个变量的函数： 反过来，对于的每个允许值，由函数式： 所确定的点都在这条曲线上，那么方程 叫做这条曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2说明： (1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. (2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 (3)在实际问题中要确定参数的取值范围 3. 参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标. 4. 参数方程求法 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点M坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点M坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 5. 关于参数方程中参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单. 与运动有关的问题选取时间做参数. 与旋转的有关问题选取角做参数. 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 二、例题选讲 例1 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（教材21页探究） 解：由物理学知识得 ① 救援物资落地时，应有，即 解得s.将代入①，得到m. 因此，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，可以使其准确落在指定地点. 例C的参数方程是（为参数）. （1）判断点，与曲线C的位置关系； （2）已知点在曲线C上，求的值. 解：（1）把点的坐标代入方程组，解得，因此在曲线C上. 把点的坐标代入方程组，得到 这个方程组无解，因此点不在曲线C上. （2）因为点在曲线C上，所以 解得. 因此，. 例3设炮弹发射角为，发射速度为， （1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力） （2）若，，当炮弹发出2秒时，求炮弹高度和射程 解：(1)由物理学知识得 (2) 若，，当炮弹发出2秒时， 所以炮弹高度为80.4m，射程为173.2m. 课后练习： 1．点在曲线为参数）上，则的值为 【 】 A． —5 B．3 C．—5或3 D．—2或3 2 曲线与坐标轴的交点是 【 】 A B C D 3 下列在曲线上的点是 【 】 A B C D 4．动点M作匀速直线运动，它在轴和轴方向的速度分别是2m/s ，5m/s,直角坐标系的长度单位是1m，点M的起点位置在处，则点M的轨迹的参数方程为 【 】 A 　　　 B C 　　 　D 5．已知曲线的参数方程为，它表示的曲线是 【 】 A 直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 6. 已知曲线C的参数方程是（为参数），当时，曲线上对应点的坐标是 . 7. 已知弹道曲线的参数方程为（为参数），则炮弹从发射到落回地面所需的时间为 . 8. 已知曲线C的参数方程是 （1）判断点与曲线C的位置关系 （2）已知点在曲线C上，求的值． 参考答案：1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6. 7． 8．解：（1）把点的坐标代入方程组，解得，因此在曲线C上.把点的坐标代入方程组，得到 这个方程组无解，因此点不在曲线C上. （2）因为点在曲线C上，所以解得.因此，. 二、圆的参数方程 一、圆的参数方程 1. 圆心为原点半径为r的圆的参数方程 如图，设圆的半径是r，点M从初始位置（t=0时的位置）出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点M绕点转动的角速度为.以圆心为原点，所在的直线为x轴，建立直角坐标系.显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数. 如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是，那么.设，那么由三角函数定义，有， 即 这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）. 考虑到，也可以取为参数，于是有 这也是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.