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高中数学一轮复习（十二） 概率与统计 统计学原理 1.抽样方法： (1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. 分层抽样 主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（）. 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图 用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图．频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ①频率=.②小长方形面积=组距×=频率. ③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm． （30） ⑵茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图． 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据 ①样本方差 ； ②样本标准差= (2)两组数据与,其中,.则,它们的方差为,标准差为 ③若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为. 样本数据做如此变换：，则，.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为= . 三、基本事件之间的关系 1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：. 对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之，这时我们也可称这两个事件为独立事件. 例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有，因此有. 推广：若事件相互独立，则. 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. 独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：. ，那么称事件A与事件B互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； （4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A ∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。 2、概率的基本性质： （