高中数学椭圆.doc

9.6 椭圆 一、填空题 1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________. 解析 由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. 又 所以. 所以.所以. 答案 ．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该离心率e的取值范围是________． 解析　因为PF1＝ePF2，PF1＋PF2＝2a，所以PF1＝，PF2＝，因为e(0,1)，所以PF1＜PF2.由椭圆性质知a－c≤PF1≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，即a－c≤≤a＋c，即a2－c2≤2ac≤(a＋c)2，即e2＋2e－1≥0.又0＜e＜1，所以－1≤e＜1. 答案　[－1,1) ．若椭圆的两焦点为(－2,0)和(2,0)，且椭圆过点，－，则椭圆方程是__________． 解析 因为椭圆上的点到两焦点距离之和为2a，则2a＝＋＝2，所以a＝.又c＝2，所以椭圆方程是 ＋＝1. ＋＝1．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tanPF1F2＝，则此椭圆的离心率为________． 解析　在RtPF1F2中，设PF2＝1，则PF1＝2.F1F2＝，e＝＝. 答案　 5.椭圆0)的右焦点为F,点在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是________． 解析 |AF|而|PF| 所以 即解得. 答案 D ．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________． 解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则＝(x＋，y)，＝(x－，y) F1PF2为钝角，·＜0， 即x2－3＋y2＜0，则有x2＜，解得－＜x＜， x∈ 答案　 7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． 解析　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a＝12， a＝6，椭圆的离心率为.＝， ＝.解得b2＝9，椭圆G的方程为：＋＝1. 答案　＋＝1 ．在RtABC中，C＝90°，A＝30°，则以A，B为焦点，过点C的椭圆的离心率是________． 解析　设BC＝x(x＞0)，则AC＝x，AB＝2x，由椭圆定义，可知2a＝AC＋BC＝(＋1)x,2c＝AB＝2x，故e＝＝－1. 答案　－1 ．以F1(0，－1)，F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P，则椭圆C的方程为________． 解析　由题意得，c＝1,2a＝PF1＋PF2＝ ＋ ＝2.故a＝，b＝1.则椭圆的标准方程为x2＋＝1. 答案　x2＋＝1 ．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有________个． 解析　当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个． 答案　6 ．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为________． 解析　由题意，得F1(－，0)，F2(，0)． 设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3. 又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1， 即y2＝1－. 将代入，得x2＝2，解得x＝±. 故点M到y轴的距离为. 答案　 ．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)· (c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2 将y2＝b2－x2代入式解得x2＝，又x2[0，a2]2c2≤a2≤3c2，e＝. 答案　 ．如图，已知椭圆＋＝1，A、B是其左右顶点，动点M满足MBAB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为________．解析　法一　设M(2，t)，P(x0，y0)，则由A，P，M三点共线，得＝，代入＋＝1，解得x0＝，y0＝，kPB＝＝＝－. 设Q(q,0)，则kMQ＝＝－＝，解得q＝0，即得Q(0,0)． 法二　设M(2,2)，A(－2,0)，B(2,0)， MA的方程为：x－2y＋2＝0. 由解得P. 从而可知直线PB的斜率kPB＝－1， 由直径上的圆周角是直角可知PBMQ， kMQ＝1， 于是可求得直线MQ的方程为x