高中数学竞赛集训试卷一.doc

高中数学竞赛集训试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式 |Sn－n－6|的最小整数n是 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设O是正三棱锥P—ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与 PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式 （ ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数 3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则= （ ） A．1 B．－1 C．2+ D．－2+ 4．已知=(cosπ, sinπ), , ，若△OAB是以O为直角顶点的 等腰直角三角形，则△OAB的面积等于 （ ） A．1 B． C．2 D． 5．过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长 PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程 logx=logb(4x－4)的根，则△ABC （ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．若log4(x+2y)+log4(x－2y)=1，则|x|－|y|的最小值是_________. 8．如果：（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4} （2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a3）a是a, b, c, d中的最小数那么， 可以组成的不同的四位数abcd的个数是________. 9．设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个 k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于 10．若对|x|≤1的一切x，t+1(t2－4)x恒成立，则t的取值范围是_______________. 11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n－3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________. 12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(－2)=－2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________. 三、解答题（每小题20分，共60分） 13．已知a, b, c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。 14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 15．已知a0，函数f(x)=ax－bx2, （1）当b0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2； （2）当b1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b－1≤a≤2； （3）当0b≤1时，讨论：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。 附加题： 一、如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长。 二、（50分）求所有实多项式f和g，使得对所有x∈R，有：(x2+x+1)f(x2－x+1)=(x2＋x+1)g(x2+x+1)。 高中数学竞赛集训试卷一参考答案 一、选择题 1．由递推式得：3(an+1－1)=－(an－1)，则{an－1}是以8为首项，公比为－的等比数列， ∴Sn－n=(a1－1)+(a2－1)+…+(an－1)==6－6×(－)n，∴|Sn－n－6|=6×()n，得：3n－1250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 2．设正三棱锥P—ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS－PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS－PQR=vO－PQR+vO－PRS+vO－PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)， 即=常数。故选D。 3．